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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 请问如何求解二元一阶微分方程组
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by xxxfield at 2012-01-04 17:10:23
对第一式关于t再求一次导数，然后将y, y'用第一、二式代入，得到一个关于x的(一元)二阶常系数线性方程，这个方程的解有公式可用，解出x后马上就可求出y了。

简单的一阶方程就这样让你搞成了复杂的二阶方程。这样一来初始边界条件也不够了，那又将如何呢？
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11楼2013-11-07 19:14:36
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
10楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-07 17:05:15
对了，Γ（2）等于1. Γ（n）=(n-1)！

续前：
X(t)=[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]+[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]*
            exp{[(B*D- A*E)/(B-E)]*t}

Y(t)=(C*D-A*F)(A*E-B*D)*t+(F-C)/(B-E+A*E-B*D)+
         (F-C)/(B-E+A*E-B*D)*exp{[(A*E-B*D)/(B-E)]*t}
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12楼2013-11-07 19:23:20
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

楼主能给个信箱，我把手算的计算过程用手机拍成图片给你发过去。
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13楼2013-11-07 19:29:05
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

sweety: 应助指数+1 2013-11-10 12:49:18
sweety: 数学EPI+1, 耐心解答 2013-11-10 12:49:37
求解过程：对方程（1）、（2）两边求Laplace变换，记X(s) 、Y(s)分别为x=x(t)和y=y(t)关于t的Laplace变换。由拉氏变换的性质，有：
s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s               (3)
s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s               (4)
联解方程（3）和（4），有：
X(s)=[k*s+(B*k-E*k+C)+(B*F-C*E)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
             +B*D]}
      =[k*s+(B*k-E*k+C)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
      +(B*F-C*E)/(A*E-B*D)*1/s
      +{[(C*E-B*F)/(A*E-B*D)]*s+(B*F-C*E)*(A+E)/(A*E-B*D)}/
         /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
Y(s)=[k*s+(F+D*k-A*k)+(C*D-A*F)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
             +B*D]}
      =[k*s+(F+D*k-A*k)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
       +[(C*D-A*F)/(A*E-B*D)]*1/s
      +{[A*F-C*D)/(A*E-B*D)]*s+(A+E)*(C*D-A*F)/(A*E-B*D)}/
          /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
对X(s)和Y(s)求拉氏反变换，得到x=x(t)和y=y(t)的表达式。查拉氏反变换表可知：1/s的拉氏反变换为1；s/[s^2+ω^2]的反变换为Cosωt;
1/[s^2+ω^2]的反变换为Sinωt; 1/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为
  exp(at)*Cosωt;  (s-δ)/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为exp(at)*Sinωt;
1/(s-a)的反变换为exp(at),同时并注意到拉氏变换与反变换均具有线性叠加的性质，故可得到如下结果：
(1) 若-B*D-(A-E)^2/4 ≥0, 令ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0
则上面的X(s)和Y(s)的表达式均可通过代数中的知识表达为由1/s、(s-γ)/[(s-γ)^2+ω^2]以及1/[(s-γ)^2+ω^2]等的线性表达式。因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t)*Cosωt、exp(γ*t)*Sinωt等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。
（2）若-B*D-(A-E)^2/4 ≤0，令-ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0
此时，X(s)和Y(s)均可表达为1/s、1/(s-γ)、1/(s+γ)等的线性表达式，因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t）、exp(-γ*t)等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。
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14楼2013-11-10 11:38:50
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优雅的狮子

铜虫 (初入文坛)
牛，赞一个
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15楼2014-05-05 23:59:47
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量子若水

银虫 (小有名气)
引用回帖:
14楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-10 11:38:50
求解过程：对方程（1）、（2）两边求Laplace变换，记X(s) 、Y(s)分别为x=x(t)和y=y(t)关于t的Laplace变换。由拉氏变换的性质，有：
s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s               (3)
s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s    ...

这是用的变分法么？
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一切灵感，一切信仰，一切时代的结晶，一切人类天才的光华，都将随着太阳系的崩溃而毁灭，人类全部的成就神殿将不可避免的被埋藏在宇宙的废墟之中，所有这一切，
16楼2014-05-13 00:12:39
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
16楼: Originally posted by 量子若水 at 2014-05-13 00:12:39
这是用的变分法么？...

不是变分法，是拉普拉斯变换法。
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17楼2014-05-13 08:05:28
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量子若水

银虫 (小有名气)
引用回帖:
17楼: Originally posted by peterflyer at 2014-05-13 08:05:28
不是变分法，是拉普拉斯变换法。...

虽然是变换到了s空间，但方程的解析式还是没有得出来。是不是变过去再转回来更麻烦了。

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一切灵感，一切信仰，一切时代的结晶，一切人类天才的光华，都将随着太阳系的崩溃而毁灭，人类全部的成就神殿将不可避免的被埋藏在宇宙的废墟之中，所有这一切，
18楼2014-05-13 15:14:52
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
18楼: Originally posted by 量子若水 at 2014-05-13 15:14:52
虽然是变换到了s空间，但方程的解析式还是没有得出来。是不是变过去再转回来更麻烦了。
...

对于像本题这样的情形，方程的解析式很容易求出来的，我已经写得比较明白了。当然，对于其他复杂的情形，拉氏变换和其逆变换会存在很大的难度的。这就是今天各种解析法发展不快而数值解法发展迅速的原因。
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19楼2014-05-13 16:35:11
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量子若水

银虫 (小有名气)
引用回帖:
19楼: Originally posted by peterflyer at 2014-05-13 16:35:11
对于像本题这样的情形，方程的解析式很容易求出来的，我已经写得比较明白了。当然，对于其他复杂的情形，拉氏变换和其逆变换会存在很大的难度的。这就是今天各种解析法发展不快而数值解法发展迅速的原因。...

嗯！很佩服你的数学，只是很多的物理问题都用数值求解，失去了原来解析解的那种简洁，解析解中包含了很多的数学思想，数值求解的那种无限取近似的我一开始接触的时候真有点接受不了。

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一切灵感，一切信仰，一切时代的结晶，一切人类天才的光华，都将随着太阳系的崩溃而毁灭，人类全部的成就神殿将不可避免的被埋藏在宇宙的废墟之中，所有这一切，
20楼2014-05-13 19:01:33
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