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zgchen9金虫 (小有名气)
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[求助]
请问如何求解二元一阶微分方程组
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各位朋友新年好，我需要解一个二元一阶微分方程组，但是本人数学水平有限，特请交各位朋友。 A,B,C,D,E,F,K为常数，x 和y为t 的函数。dx/dt和dy/dt为导数，二元一阶微分方程组如下： dx/dt=Ax+By+C dy/dt=Dx+Ey+F 边界条件为t=0时，x=y=K. 请问如何得到x 和y. 谢谢。  方程组 |
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peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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【答案】应助回帖
sweety: 应助指数+1 2013-11-10 12:49:18
sweety: 数学EPI+1, 耐心解答 2013-11-10 12:49:37
sweety: 数学EPI+1, 耐心解答 2013-11-10 12:49:37
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求解过程：对方程（1）、（2）两边求Laplace变换，记X(s) 、Y(s)分别为x=x(t)和y=y(t)关于t的Laplace变换。由拉氏变换的性质，有： s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s (3) s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s (4) 联解方程（3）和（4），有： X(s)=[k*s+(B*k-E*k+C)+(B*F-C*E)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4 +B*D]} =[k*s+(B*k-E*k+C)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]} +(B*F-C*E)/(A*E-B*D)*1/s +{[(C*E-B*F)/(A*E-B*D)]*s+(B*F-C*E)*(A+E)/(A*E-B*D)}/ /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]} Y(s)=[k*s+(F+D*k-A*k)+(C*D-A*F)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4 +B*D]} =[k*s+(F+D*k-A*k)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]} +[(C*D-A*F)/(A*E-B*D)]*1/s +{[A*F-C*D)/(A*E-B*D)]*s+(A+E)*(C*D-A*F)/(A*E-B*D)}/ /{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]} 对X(s)和Y(s)求拉氏反变换，得到x=x(t)和y=y(t)的表达式。查拉氏反变换表可知：1/s的拉氏反变换为1；s/[s^2+ω^2]的反变换为Cosωt; 1/[s^2+ω^2]的反变换为Sinωt; 1/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为 exp(at)*Cosωt; (s-δ)/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为exp(at)*Sinωt; 1/(s-a)的反变换为exp(at),同时并注意到拉氏变换与反变换均具有线性叠加的性质，故可得到如下结果： (1) 若-B*D-(A-E)^2/4 ≥0, 令ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0 则上面的X(s)和Y(s)的表达式均可通过代数中的知识表达为由1/s、(s-γ)/[(s-γ)^2+ω^2]以及1/[(s-γ)^2+ω^2]等的线性表达式。因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t)*Cosωt、exp(γ*t)*Sinωt等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。 （2）若-B*D-(A-E)^2/4 ≤0，令-ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0 此时，X(s)和Y(s)均可表达为1/s、1/(s-γ)、1/(s+γ)等的线性表达式，因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t）、exp(-γ*t)等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。 |
14楼2013-11-10 11:38:50
【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:31:57
zgchen9(金币+5): ★★★很有帮助 2012-01-02 22:34:49
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soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:31:57
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用mathematica软件可以求解： DSolve[{x'[t] == A x[t] + B y[t] + C, y'[t] == D x[t] + E y[t] + F, x[0] == K, y[0] == K}, {x, y}, t] // Simplify 答案是： x -> Function[{t}, (2 E^(-(1/ 2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-2 B C D E^( 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + 2 B C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + 2 B C D E^( Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - A C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + C E^(2 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + A C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - C E^(2 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - 2 B C D E^( 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + A C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - C E^(2 + 1/2 (A + E - 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2楼2012-01-02 22:28:24
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