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关于微分方程的基本定理
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| Sample Text常微分方程 解对初值与参数的连续依赖性，不知道怎么样用图形怎么展现？我始终不太理解对参数的依赖性这一点 请师兄师姐们指教 |
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3楼2011-12-20 21:03:32
jfili
金虫 (正式写手)
- 数学EPI: 17
- 应助: 17 (小学生)
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
soliton923: 感谢专家参与讨论 2011-12-20 15:47:05
soliton923: 感谢专家参与讨论 2011-12-20 15:47:05
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对方程：y'=f(x,y) 方程解的图表示由初值点(x0,y0)出发的一条曲线，此曲线的斜率恰为f(x,y) 问题有：解的存在性，由(x0,y0)出发可以有一条曲线；解的唯一性：出发的曲线是唯一的；解对初值的连续依赖性：如果要从某点出发后的曲线仍然在原来曲线的周围，只需要要求出发点在原来的初值点的小领域内 解释课本给的充分条件：如果f(x,y)=g(x)，上述几个问题也自然得到解决了。如果右边为f(x,y)，如何来得到曲线呢？第一步：得到一个曲线族。即，首先令y=y0,即由右边为f(x,y0)得到一个曲线y1(x)（因为右端与y无关），再由f(x,y1(x))可得到曲线y2(x)，继续进行下去，所以得到了一个曲线族{yn(x)}，都过初值点。第二步：如果yn(x)收敛于y(x)，y'n(x)一致收敛于y'(x)，则只需在y'n=f(x,yn-1)中令n趋于无穷大即可得到y'=f(x,y)，即得到了解。而我们课本上给的充分条件恰好能使得上面的曲线族收敛 问题二：为什么一定要使得解唯一呢？那是因为我们无论用什么数值解，所得的曲线族都是一定的，而如果没有唯一性，我们得到的数值解就不一定为我们所希望的那个。 问题三、为什么必须要求解要对初值的连续依赖呢？（没有唯一性当然更谈不上连续依赖性的）因为我们所测得的初值是有误差的，如果对初值很敏感，我们无论把初值做的多精确、误差有多小，得到的近似解都可能与原解差别更大的 |
2楼2011-12-20 09:18:08