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自然卷在发愣

金虫 (小有名气)

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[求助] 对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件？

在推导过程中遇到一个疑问，见下图，式子稍微有点复杂，但简而言之，我的问题是：对称矩阵的主对角线上元素之和大于0是否是该对称矩阵为正定矩阵的一个充分条件？教材上貌似没有找到相关的定理或者推论，但是感觉可能有相关结论，敬请赐教，不胜感激！

[ Last edited by 自然卷在发愣 on 2011-12-5 at 23:52 ]

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1楼 2011-12-05 23:36:42

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wolfqfy

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-12-06 11:45:22
自然卷在发愣(金币+2): 谢谢指导，明白了 2011-12-06 21:10:08

“对称矩阵的主对角线上元素之和大于0”是“该对称矩阵为正定矩阵”的必要不充分条件。

对角元素的和 = 特征值的和

正定矩阵的特征值全为正数，所以其和也必为正数；相应的，对角元素的和也为正数。所以，必要条件可证。

对角线元素之和大于0只能得出特征值之和大于0的结论，不能得出每一个特征值都大于0的结论。所以，不是充分条件。