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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件？
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自然卷在发愣

金虫 (小有名气)

[求助] 对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件？

在推导过程中遇到一个疑问，见下图，式子稍微有点复杂，但简而言之，我的问题是：对称矩阵的主对角线上元素之和大于0是否是该对称矩阵为正定矩阵的一个充分条件？教材上貌似没有找到相关的定理或者推论，但是感觉可能有相关结论，敬请赐教，不胜感激！


[ Last edited by 自然卷在发愣 on 2011-12-5 at 23:52 ]
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1楼 2011-12-05 23:36:42
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

自然卷在发愣(金币+5): 谢谢你举的反例，我考虑一下严格对角占优去 2011-12-06 00:23:01
考虑一个最简单的二阶矩阵，两个对角元一个为2，一个为-1，非对角元为0，正定不？建议楼主研究下严格对角占优，看看是不是可用。
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2楼2011-12-06 00:07:28
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wolfqfy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-12-06 11:45:22
自然卷在发愣(金币+2): 谢谢指导，明白了 2011-12-06 21:10:08
“对称矩阵的主对角线上元素之和大于0”是“该对称矩阵为正定矩阵”的必要不充分条件。

对角元素的和 = 特征值的和

正定矩阵的特征值全为正数，所以其和也必为正数；相应的，对角元素的和也为正数。所以，必要条件可证。

对角线元素之和大于0只能得出特征值之和大于0的结论，不能得出每一个特征值都大于0的结论。所以，不是充分条件。
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白日放歌须纵酒，青春作伴好还乡。
3楼2011-12-06 11:35:42
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hyit_lxq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

自然卷在发愣(金币+1): 谢谢，你能讲得更详细些吗？我不是很明白 2011-12-06 21:11:01
自然卷在发愣(金币+3): 之前悬赏的金币不够了，自己不会使用追加悬赏，呵呵 2011-12-06 21:17:27
楼主您好,  可以证明:  当n>2时,  该矩阵不可能正定。但可以半正定(即非负定)。
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~ ~ ~
4楼2011-12-06 13:32:24
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hyit_lxq

木虫 (小有名气)
您若不急用, 等我忙完这段时间, 给您写下来拍照发给您。
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5楼2011-12-06 22:24:25
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自然卷在发愣

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hyit_lxq at 2011-12-06 22:24:25:
您若不急用, 等我忙完这段时间, 给您写下来拍照发给您。

虽然着急，但是你还是先忙你的吧，我也在想其他的思路，再次谢谢！
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6楼2011-12-07 00:26:55
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jiahl

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

自然卷在发愣(金币+2): 恩，现在明白了，谢谢 2011-12-07 23:21:13
这个矩阵应该不是正定矩阵。正定矩阵的一个前提条件是矩阵式实对称。你写的这个矩阵也满足这个条件。
判断一个矩阵正定的一个方法就是计算所有的K阶主子式全为正的话矩阵就是正定的。
所谓K阶主子式就是取矩阵的前K行前K列交叉位置上的元素构成的K阶行列式。
这样一来，首先要保证a（1，1）是个正数，你写的这个矩阵未必能保证这一点。
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业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随
7楼2011-12-07 22:39:57
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