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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 信息科学 » 图像处理 » 正交函数集合完备性的解释
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130098300

银虫 (正式写手)

[求助] 正交函数集合完备性的解释

小弟最近在看图像处理正交变换的时候遇到完备性的概念，然后有个例子，可是我看不懂，见图中所示，为何（a）是完备的，而(b)是不完备的，哪位高手详细解释下，感激不尽！
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Working for the Lord with all my heart
1楼 2011-11-22 20:51:22
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

MissInTheSky

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 130098300 at 2011-11-24 09:02:27:
何为有衰退呢，你能就这幅图给我详细说说吗，谢谢了

大家的解释很丰富了
我的解释只是从完备性的定义上说的，虽然图中Rad函数是正交的，但是你还可以很容易构造另一个函数与它们正交。但是对于Walsh是不会再有walsh函数集外的函数与它正交了。
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13楼2011-11-24 19:33:49
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普通回帖

wintoday

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
mze04532(金币+2): 鼓励热心应助~ 2011-11-24 13:14:46
完备性很好理解，比如周期固体中的布洛赫波所张开的表象（布洛赫表象），其基矢（布洛赫波）就是一组正交完备基，固体中所有电子的状态都可以按照这个基组展开。当然，同一个体系的完备基可能不止一种，例如固体中的“万尼尔”函数（万尼尔表象），也是一种完备基。不同完备基之间满足一定的变换。至于用那一种，要根据你的问题来说。

在线性空间中就是指构成这个空间的基是相互正交的，即这个空间中所有的向量都可以由这组基线性表出，而且这些基又相互正交。正交也就是在三维空间中垂直的意思。
拓展开，在许多更具体的问题中都是这样。例如，函数集合的标准正交基是：sin(NX),cos(NX),N取整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。因为任何一个函数都可以由他们通过线性叠加而构成，傅立叶级数以及傅立叶变换就是以此研究的。并且他们相互垂直，也就是他们中任何两个不同的函数在一个周期中对这两个函数的乘积的积分都为零，相同的函数结果为1。
在几何空间中，三维空间，就是长宽高，三个方向相互垂直，并且可以表示其中的任何一个点（也就是向量）。
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报喜鸟
2楼2011-11-23 08:45:37
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130098300

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wintoday at 2011-11-23 08:45:37:
完备性很好理解，比如周期固体中的布洛赫波所张开的表象（布洛赫表象），其基矢（布洛赫波）就是一组正交完备基，固体中所有电子的状态都可以按照这个基组展开。当然，同一个体系的完备基可能不止一种，例如固体中 ...

你只给我解释了正交性啊，完备性并没有说，我需要的这幅图完备性的说明，如何判断等等，不好意思啊，你的答案不是我想要的
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Working for the Lord with all my heart
3楼2011-11-23 09:09:14
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木易山水

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

1：相对于正交性，完备性没有直观性，同时其证明难度都是非常大的，虽然完备性的定义非常简单
2：第一个图形是walsh函数系，要分两步
先证walsh函数函数存在一个稠密子集
其次还得用到一致连续再加上一大推的数学分析的东西
3：个人觉得没有必要去理解完备性的证明，一个函数系的完备性的证明即使交给一个泛函学的很好的人去做都没有把握能搞定，常用的函数系的完备性结论也都有了
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大师远去，新的一代正在成长
4楼2011-11-23 12:05:56
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木易山水

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

补充一下，所谓完备性的直观性不强是指、；从图形上时看不出来的，得通过严格的数学证明
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大师远去，新的一代正在成长
5楼2011-11-23 12:20:56
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MissInTheSky

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

130098300(金币+2): 谢谢！但是希望你能解释下我对于你的疑问好吗 2011-11-24 12:03:35
(a)图为Walsh函数集，(b)图为Rad函数集
完备性的判定是在正交性的基础上进行的，对不同的函数集可以用不同的方法证明，但楼上所说的，一般很难证明的。
但是证明一个函数集不完备相对简单，如这两个函数，这是因为二维以上的Rad函数的维度有衰退，所以不完备
希望对楼主有帮助
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6楼2011-11-23 20:22:19
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130098300

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by MissInTheSky at 2011-11-23 20:22:19:
(a)图为Walsh函数集，(b)图为Rad函数集
完备性的判定是在正交性的基础上进行的，对不同的函数集可以用不同的方法证明，但楼上所说的，一般很难证明的。
但是证明一个函数集不完备相对简单，如这两个函数，这是因 ...

何为有衰退呢，你能就这幅图给我详细说说吗，谢谢了
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Working for the Lord with all my heart
7楼2011-11-24 09:02:27
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木易山水

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

130098300(金币+8): 好的，谢谢了，但是还是很晕乎，无奈不是数学方面的专业，对此不是很了解，呵呵 2011-11-24 12:02:58
1：如果要说明第二幅图（也即Rademacher函数系）不是完备的，是不困难的。
2：lz观察第二幅图，这个函数系的呈现出奇函数的特性，自然地，对于偶函数（最简单的cos（x）），采用Rademacher函数系作为基函数的时候，肯定不会是柯西收敛的（简单的理解就是逼近误差不为零），故我们是不可能通过这个函数系逼近的
3：我很容易在L^2空间找到这样的偶函数，我们知道任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示，若此函数集不仅是正交而且完备，则用它来表示信号时将没有误差。通过上面的分析可知采用Rademacher函数系误差是不为零的，故Rademacher函数系不完备
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大师远去，新的一代正在成长
8楼2011-11-24 11:56:46
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木易山水

金虫 (小有名气)
你想要直观的理解也行
Rademacher函数系是奇函数系，所以无论如何也不能逼近一个偶函数的，对照完备性的定义就可以得出其不完备性的结论了
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大师远去，新的一代正在成长
9楼2011-11-24 12:06:09
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fubofanxx

铜虫 (小有名气)
★ ★
mze04532(金币+2): 热心解答，奖励~ 2011-11-24 13:15:20
我说我理解，理论性不强：
1.完备性：高阶比低阶多一个零点；
    即每两阶之间查一个零点，零点与多项式的阶数是对应的，用多项式逼近时，可以理解为没有漏项，可以用正交多项式完全表达一个函数（非多项式也可一样理解）。
    walsh函数是符合上面结论的，但Rad函数不符合。
2 正弦和余弦单独不是完备的，也可以说是完备的，但是二者的集合是完备的
     因为正弦和余弦单独不能表达任意函数，但是当分解为两个正交的方向后，他们是可以表达的，这个与正交多项式类似，又有不同。

      呵呵，这是我的理解，如果想要严密的证明，不是搞数学的还真搞不清楚。
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130098300
10楼2011-11-24 12:43:24
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