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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 信息科学 » 图像处理 » 正交函数集合完备性的解释
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130098300

银虫 (正式写手)
送鲜花一朵
引用回帖:
10楼: Originally posted by fubofanxx at 2011-11-24 12:43:24:
我说我理解，理论性不强：
1.完备性：高阶比低阶多一个零点；
    即每两阶之间查一个零点，零点与多项式的阶数是对应的，用多项式逼近时，可以理解为没有漏项，可以用正交多项式完全表达一个函数（非多项式也可 ...

呵呵，谢谢你，可惜我已经给分了，送你一朵花吧
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Working for the Lord with all my heart
11楼2011-11-24 15:34:27
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fubofanxx

铜虫 (小有名气)
呵呵，也不是要什么，感觉正交完备性确实很玄乎，感觉很朦胧。
Fourier函数很特别。
我的理解也不深，毕竟不是学数学的，以前用过，祝你好运。
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12楼2011-11-24 16:17:51
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MissInTheSky

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 130098300 at 2011-11-24 09:02:27:
何为有衰退呢，你能就这幅图给我详细说说吗，谢谢了

大家的解释很丰富了
我的解释只是从完备性的定义上说的，虽然图中Rad函数是正交的，但是你还可以很容易构造另一个函数与它们正交。但是对于Walsh是不会再有walsh函数集外的函数与它正交了。
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13楼2011-11-24 19:33:49
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leolau0318

木虫 (正式写手)
的确不能提供严格的数学证明。谈谈个人理解吧。

正交函数集需满足两个条件才能称为完备的或闭的（complete or closed)[1]:
1. 不存在任何正交集之外的能量有限函数，使得该函数与正交集中任一函数的内积为零；
2. 对于任一能量有限函数，在误差一定时，能够用有限级数展开来逼近该函数。
Rademacher函数不满足第二条，所以不是完备的。至于证明的过程，也许在Rademacher的德文论文[2]中。

Walsh函数系是美国数学家Walsh[3]于1923年提出的,他将不完备的雷德麦彻(Rademacher)函数加以完备化,形成了一组完备的、正交的矩型函数系。

In 1923, J. L. Walsh proposed a closed set of normal orthogonal functions. About the same time, Rademacher [3] presented a system of functions which were later shown to be a subset of the Walsh system. A set of functions constructed by Haar is also a subset of the Walsh system.

[1] N.Ahmed, K.R.Rao, Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing[M], Springer, 1975, pp.3
[2] RADEMACHER, H.,Einige S¨atze ¨uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen, Math. Ann. 87 (1922), 112–138.
[3] WALSH J L. A closed set of normal orthogonal functions[J]. American Journal of Mathmatics, 1923,45(5):5-24.
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14楼2014-10-24 21:39:03
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