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1楼 2011-10-13 19:08:32

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lizhmath

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~正解！！！@_@ 2011-10-13 19:42:35

用二项展开公式得
$a_n=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\ =1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right ).$
于是
$a_{n+1}-a_n\\ =\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left\{\left(1-\frac{1}{n+1} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1} \right )-\left(1-\frac{1}{n} \right )\cdots\left(1-\frac{k-1}{n} \right )\right\}+\frac{1}{(n+1)^{n+1}}.$
求和的大括号中相减两项都是k－1个相乘，显然
$1-\frac{i}{n+1}>1-\frac{i}{n}>0,\;\;i=1,\cdots,n-1$
所以该数列严格递增。事实上它的极限是e。

2楼2011-10-13 19:38:08

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xuyx_78

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★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-13 20:33:34

将二者用二项式展开，逐项比较可知，a_(n+1)的各项不小于a_n的对应项，而且多了一个正的项，所以a_(n+1)-a_n>0.

3楼2011-10-13 19:44:34

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yasima2

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引用回帖:

2楼: Originally posted by lizhmath at 2011-10-13 19:38:08:
用二项展开公式得
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_n%3D1+%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ek%7D%5C%5C%20%3D1+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5 ...

我知道那种方法.我课本上就是.我问还有别的方法吗.就是直接减

4楼2011-10-13 20:27:10

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yasima2

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★
soliton923(金币+1): 小孩一个，也敢在数学版自称姐姐？？？ 2011-10-13 20:32:40

引用回帖:

且不用二项式展开.姐姐想了好久,一直觉得以前没用二项式展开也能做出来

5楼2011-10-13 20:29:44

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就是各种放缩与配凑

6楼2011-10-13 20:36:53

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lizhmath

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小雨萌萌(金币+1): 3Q~ 2011-10-14 09:44:21

引用回帖:

6楼: Originally posted by yasima2 at 2011-10-13 20:36:53:
就是各种放缩与配凑

我不知道有没有你说的方法，好像二项展开不是太麻烦吧。
好像对a_{n+1}/a_n取对数后，不容易证明>0。
当然，可能会有简单办法，只是我们没有发现。

7楼2011-10-13 21:22:11

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小雨萌萌(金币+2): 3Q~ 2011-10-14 09:44:34
mayz92(金币+5): 2011-10-14 11:23:24

下面的方法是陈纪修编著的《数学分析》中的：

8楼2011-10-13 21:52:02

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Pchief

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9楼2011-10-15 10:00:13

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我学的是华东师大的数分，书上也是ls贴出的过程，我觉得不自然，所以自己试了下（不知道怎么像楼上两位那样贴图出来，所以只能自己在这里敲公式了）：

(1+1/n)^(n+1) - (1+1/ n+1)^(n+1) < (1/n - 1/n+1)*(n+1)*(1+1/n)^n
右式=1/n * (1+1/n)^n，然后移项就可以了。

我也试过，完全类似的方法可以证明(1+1/n+1)^n是递增的,
(1+1/n)^(n+1)是递减的。