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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 证明题
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tianjm07

木虫 (著名写手)

[求助] 证明题

设f（x）在【a，+oo）上连续，在（a,+oo）内可导，且limx趋于正无穷时f(x)=f(a),求证存在s属于（a,+oo）,使其导数等于0
这个题我要规范步骤！！！
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1楼2011-06-02 09:35:56
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inhaul

新虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-06-11 16:34:33
反例
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2楼2011-06-02 09:51:21
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哥宠你1生

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与~~ 2011-06-02 11:33:18
∵f（x)在（a,+∞)连续可导，且有limf(x)当x趋近于无穷大时，f(x)=f(a)=常数，∴由罗尔定理可得，在区间（a,+∞)内必存在一点ζ，使得f（ζ）的导数等于零。
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假如我不能，我就一定要；假如我一定要，我就一定能！
3楼2011-06-02 09:53:16
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inhaul

新虫 (正式写手)
看错了，上面写得不对
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4楼2011-06-02 09:53:51
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tianjm07

木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by 哥宠你1生 at 2011-06-02 09:53:16:
∵f（x)在（a,+∞)连续可导，且有limf(x)当x趋近于无穷大时，f(x)=f(a)=常数，∴由罗尔定理可得，在区间（a,+∞)内必存在一点ζ，使得f（ζ）的导数等于零。

错，你水平不行……鉴定完毕
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5楼2011-06-02 10:22:10
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pengyehui

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢专家的参与~~ 2011-06-02 11:33:40
tianjm07(金币+2): 2011-06-12 07:34:12
不妨设a>0, 做函数g(t)=f(1/t),定义域为(0,1/a]. 显然 g(1/a)=f(a)，且t->0时，g(t)=f(a)，因此可以补充定义g(0)=f(a)，所以由Roll定理知道存在t0使得g'(t0)=0,进一步可以知道结论正确；
至于a<0的情况，类似，只是定义域变成[1/a,0]而已。
对于a=0,可以做函数h(s)=f(s-1),h的电影域为[1,+00),且h(1)=f(a),s->+00时，h->f(a), 对于函数h，应用上述结论(此时a=1)
从而命题得证
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6楼2011-06-02 10:45:11
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tianjm07

木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by pengyehui at 2011-06-02 10:45:11:
不妨设a>0, 做函数g(t)=f(1/t),定义域为(0,1/a]. 显然 g(1/a)=f(a)，且t->0时，g(t)=f(a)，因此可以补充定义g(0)=f(a)，所以由Roll定理知道存在t0使得g'(t0)=0,进一步可以知道结论正确；
至于a<0的情况 ...

真的要这样吗，我设一个X，用对于任意的。。存在。。，然后用roll，再两边取极限，这样不可以吗？
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7楼2011-06-02 11:05:45
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pengyehui

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

数学问题，你觉得逻辑上正确了就应该没有太多问题了! 首先说服自己！呵呵
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8楼2011-06-02 11:10:17
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tianjm07

木虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by pengyehui at 2011-06-02 11:10:17:
数学问题，你觉得逻辑上正确了就应该没有太多问题了! 首先说服自己！呵呵

我要规范步骤啊，我要考试的。。。你觉得我那个说的对吗
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9楼2011-06-02 11:15:30
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师大学子

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与~~ 2011-06-02 11:34:20
引用回帖:
Originally posted by pengyehui at 2011-06-02 10:45:11:
不妨设a>0, 做函数g(t)=f(1/t),定义域为(0,1/a]. 显然 g(1/a)=f(a)，且t->0时，g(t)=f(a)，因此可以补充定义g(0)=f(a)，所以由Roll定理知道存在t0使得g'(t0)=0,进一步可以知道结论正确；
至于a<0的情况 ...

这个证明过程是正确的，就是补充定义，将前开后闭的区间变成闭区间，这时候才能用洛尔中值定理，开区间是不可以的！
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10楼2011-06-02 11:31:04
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