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shuweilyou

木虫 (正式写手)

穷秀才

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[交流] 【求助】f(x+y)=f(x)+f(y)

对任意x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)，个人感觉这个条件不能证明f(x)一定是线性函数。望各位大虾给出反例。不胜感激。

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1楼 2010-09-27 17:09:11

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

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★
小雨萌萌(金币+1):谢谢参与讨论 2010-09-28 22:33:25

没说是连续的。

保有理数数乘那倒是肯定的，这是保加法的直接推论，7楼已经展示。至于保实数数乘那就不一定了。

实际上，基于选择公理，存在着 R （实数集合）作为 Q （有理数域）上向量空间的一个 Hamel 基 B ，这就是说，任何一个实数都可以唯一地写为 B 中有限个元素的有理系数线性组合。现在任取 α∈B，规定 R 上函数 f 如下：如果实数 x 写成 B 中元素的有理系数线性组合时， α 的系数为 y，就令 f(x) = y。显然，函数 f 满足可加性条件，且有 f(α) = 1。现在设 x 是任意一个无理数，按照函数 f 的定义，它的值只可能是有理数，因此 f(xα) ≠ x = xf(α)。

[ Last edited by Pchief on 2010-9-28 at 10:13 ]