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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于共形映射的问题，不甚感激！
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linon1987

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】关于共形映射的问题，不甚感激！ 已有6人参与


各位学数学的牛人们：
      最近我遇到一个关于共形映射的问题，不知道怎么解决，望各位指点一二。

      问题：如图，已知矩形ABCD，能否找到一个共形映射使矩形ABCD变换到后面的ABCD图形，使同种颜色的边上的点对应。其中前面矩形的AB边和后面图形的AB边是相等的，后面图形的CD边是一个固定形状（比如半圆弧），而后面的图形的BC边和AD边可以调节。
      
     看一些书上说，这样的变换不一定存在，因为需要两个图形的共形模相等才行。可以通过调节后图BC和AD边的长度来调节共形模吧（该怎么调节呢？怎么求共形模呢？有具体的数值方法吗？）。
                 
     假设这两个图形的共形状模相等了吧，然后又有什么数值方法求出这个映射呢？
（可以用级数的方法吗？就是先写出这个变换w=f(z)=c0+c1*z+c2*z^2+...  ，然后在边界上离散的取一些值来求出这个多项式的系数，但这样做似乎运算量很大，并且关键是共形模的问题，怎么选择变换后的图形，使共形模相等？）

[ Last edited by linon1987 on 2010-9-13 at 15:30 ]
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1楼 2010-09-13 15:27:11
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linon1987

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2416336楼: Originally posted by f648175842 at 2012-12-28 09:07:37
能具体介绍一下吗？我也对这个问题非常的感兴趣，求指点...

好吧，这都两年前的问题了，我已经找到这种问题的求法了，并写了一篇文章。见：http://www.opticsinfobase.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-19-16-15119    里面参考文献[8]是用求解拉普拉斯方程方法做的。
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8楼2012-12-29 09:10:57
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smf2828

木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
四边形 连同边界上指定的4个点  就称为拓扑四边形；
拓扑四边形有个共形模；
一个拓扑四边形在共形映射下的像就是另外一个拓扑四边形，并且共形模不变。

所以两个拓扑四边形的共形模不一样，这两个拓扑四边形之间肯定没有共形映射。

就算两个拓扑四边形的共形模一样，这两个拓扑四边形之间从理论上讲存在共形映射，但要具体把共形映射的表达式写出来是不太可能的。除非形状比较特殊，就算形状比较特殊也是很难得。

参考文献：李忠著 《复分析导引》
               李忠著 《拟共形映射及其在黎曼曲面论中的应用》
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2楼2010-09-13 18:44:13
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linon1987

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by smf2828 at 2010-09-13 18:44:13:
就算两个拓扑四边形的共形模一样，这两个拓扑四边形之间从理论上讲存在共形映射，但要具体把共形映射的表达式写出来是不太可能的。除非形状比较特殊，就算形状比较特殊也是很难得。
本文来自: 小木虫论坛 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2393997

哦，先谢谢你了。我的意思是能不能用数值的方法找这个映射，比如用级数来逼近？还有个问题就是 存在共形映射使拓扑四边形的四个顶点依次对应，但是并不是四条边依次对应，是否存在共形映射使它们四条边也对应呢？
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3楼2010-09-14 09:08:51
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linon1987

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by smf2828 at 2010-09-13 18:44:13:
四边形 连同边界上指定的4个点  就称为拓扑四边形；
拓扑四边形有个共形模；
一个拓扑四边形在共形映射下的像就是另外一个拓扑四边形，并且共形模不变。

所以两个拓扑四边形的共形模不一样，这两个拓扑四边形 ...

如果共形映照有难度，是否可以用拟共形映照呢？我最主要是想用数值的方法求出这个映射。
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4楼2010-09-14 09:31:27
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