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lotusping

新虫 (初入文坛)

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[交流] 【求助】恼人的积分，求助！！！！！！！！！！已有8人参与

需要求一个这样的积分

当a1>a2>a3时，积分可以解为

现在实际情况遇到a1=a2>a3的情况，这样这个解的分母就为0了，没有意义。
求助大家，当a1=a2>a3的情况时，积分该怎样解。

还有个问题是，当我用满足a1>a2>a3条件时，我用的mathematics直接求的图1中积分公式的数值积分，和用图2中的公式计算的值相差很大。

这个结果说明了什么？是数值积分的精度影响还是公式有错误？

期待回答……

[ Last edited by 小雨萌萌 on 2010-7-5 at 08:29 ]

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1楼 2010-07-04 23:03:52

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joyfox

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★ ★ ★
lotusping(金币+7): 2010-07-06 11:53:28
javeey(金币+3):谢谢提供帮助 2010-07-06 11:54:54

引用回帖:

Originally posted by onesupeng at 2010-07-05 11:24:58:
有一个简单的思路，就是分成

A/（a_1^2+t^2）+B/（a_2^2+t^2）+C/（a_3^2+t^2）

的形式，可以凑得出ABC

就是这个思路，在 $a_{i}$ 互不相等的情形下，比较容易对每个式子积分
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a_{i}^2+x^2}=\frac{1}{a_{i}}arctan\frac{x}{a_{i}}|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2a_{i}}$

在 $a_{i}$ 部分相等的情形下，存在形如 $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(a_{i}^2+x^2)^n}$ n=2或3的式子

参考"Table of Integrals, Series, and Products"中的以下结论

所以可以得到下面的式子
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(a_{i}^2+x^2)^n}dx=\frac{1}{a_{i}^{2n-1}}\frac{(2n-3)!!\pi }{2^{n}(n-1)!}$

双阶乘m!!表示：当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积。如：3!!=1*3=3,6!!=2*4*6=48

[ Last edited by joyfox on 2010-7-6 at 11:24 ]