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xinhero实习版主
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问一个特征值的问题
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方程：- ( ( x + 1) y′ )′=λ( x2 + 1) y , x ∈(0 ,1) 边界条件：y (0) = y (1) = 0 特征值λ怎么求啊 望高手帮忙 |
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特征值不仅出现在代数中，还出现在常微分方程和偏微分方程中。求解线性齐次方程的特征值用于求通解。进而再加上特解得到线性的非齐次解。首先我把它看作是常微分方程，在常微分方程中已经出现了λ，这个λ不是指特征值，它只是一个参数。整理得到的方程可以发现它不是一个线性常微分方程。就我所知，再讨论特征值已经没有意义了。也许还可以进一步做变量代换成线性的，但是那个特征值就不是原方程的特征值。 6楼2009-12-08 23:53:09
xinhero
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bluesine(金币+2,VIP+0):鼓励新虫，再等等，应该有高手能解决的。 12-9 19:00
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举个例子吧：考虑含如下参数λ的二阶线性常微分方程边界问题： y‘’（x)+λy'(x)=0; y(0)=y(1)=0 (1) 使上述常微分方程边值问题(1)具有非零解的那些λ值称为这个边值问题的特征值; 相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数;寻找边值问题(1)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题。 现在求特征值λ.这个方程的通解很容易求出来。可以算出当λ<0或=0时，其通解要满足边界条件（y(0)=y(1)=0 ）的话只能是零解（通解中的系数为零），这种情况排除了。当λ>0时，通解为(x)=C1cos(λ1/2x)+C2sin(λ1/2x) (注：1/2为上标表示开根号，即1/2次方，1，2为下标表系数）代入边界条件（同时非零解要求C1,C2不能同时为零），得，λ=（k*pi)2 (2为上标，表平方，k=1,2,3, ,,,,, n)这个求得的λ即为这个边界问题的特征值。 在上面打字挺不容易的。。我应该说清楚了吧。。其实这个问题说穿了就是如何求方程的通解，代入边界条件即可。。所以我要问的就是这个微分方程- ( ( x + 1) y′ )′=λ( x2 + 1) y 如何求通解，就把λ当一个常数吧，免得搞混淆了。 小木虫为什么不能贴图啊，，打这种符号真麻烦 。。。希望斑斑能够体谅一下我们 [ Last edited by xinhero on 2009-12-9 at 17:29 ] |
7楼2009-12-09 17:22:34
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是这样的吗？
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xinhero(金币+4,VIP+0):谢谢，应该差不多了，我再算算。只是觉得技巧性太高了，这种变化不容易想到吧 12-9 21:37
xinhero(金币+4,VIP+0):谢谢，应该差不多了，我再算算。只是觉得技巧性太高了，这种变化不容易想到吧 12-9 21:37
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对于非常系数线性常微分方程没有一般解法。只能靠运气。所以这里求特征值是没有意义的。有意义的只是求解。利用求导法则，得到:λ(x^2+1)y+y(1)+(x+1)y(2)=0.再作变量代换：v=x+1,得到:vy(2)+y(1)+λy(V-1)^2=0.由于这是个特殊的线性变换，一阶与二阶导数不变。因此仍借用y(n)表示y对v的n阶导数。在此我们再作一次变量代换：t=1/v我们仍借用y(n)表示y对t的n阶导数，但此导数和对v的导数有明显的区别。这个关系可以用链式法则表示。得到：y(2)=4λy(t^4-2t^2+1).最后我们可以猜测它的解有如下形式：y=aexp(bt^3+ct^2+dt+e),求导带入得到关于a,b,c,d,e的方程。这里有5个未知数但只有4个方程，因此一定有解。再反代换回去可以得到y(x)的表达式。 再利用刘维尔公式，可以获得另一线性无关的解。将两解叠加，代入初值即可。 从此知会猜测一个特解是很重要的技能。 具体计算自己弄吧，我算的头痛。 另外，可以试着用matlab编程试一下。这样就很快得到了。注意用符号计算。得到解析解。 |
9楼2009-12-09 21:18:54
:dnd:
10楼2009-12-09 21:22:32
