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xinhero

银虫 (正式写手)

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[交流] 问一个特征值的问题

方程：- ( ( x + 1) y′ )′=λ( x2 + 1) y , x ∈(0 ,1)
边界条件：y (0) = y (1) = 0
特征值λ怎么求啊
望高手帮忙

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1楼2009-12-07 12:27:02

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xinhero

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★ ★
bluesine(金币+2,VIP+0):鼓励新虫，再等等，应该有高手能解决的。 12-9 19:00

引用回帖:

Originally posted by hellogod at 2009-12-8 23:53:

特征值不仅出现在代数中，还出现在常微分方程和偏微分方程中。求解线性齐次方程的特征值用于求通解。进而再加上特解得到线性的非齐次解。首先我把它看作是常微分方程，在常微分方程中已经出现了λ，这个λ不 ...

举个例子吧：考虑含如下参数λ的二阶线性常微分方程边界问题：
y‘’（x)+λy'(x)=0; y(0)=y(1)=0 (1)  使上述常微分方程边值问题(1)具有非零解的那些λ值称为这个边值问题的特征值; 相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数;寻找边值问题(1)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题。
现在求特征值λ.这个方程的通解很容易求出来。可以算出当λ<0或=0时，其通解要满足边界条件（y(0)=y(1)=0 ）的话只能是零解（通解中的系数为零），这种情况排除了。当λ>0时，通解为(x)=C1cos(λ1/2x)+C2sin(λ1/2x) (注：1/2为上标表示开根号，即1/2次方，1，2为下标表系数）代入边界条件（同时非零解要求C1,C2不能同时为零），得，λ=（k*pi)2  (2为上标，表平方，k=1,2,3, ,,,,,  n)这个求得的λ即为这个边界问题的特征值。

在上面打字挺不容易的。。我应该说清楚了吧。。其实这个问题说穿了就是如何求方程的通解，代入边界条件即可。。所以我要问的就是这个微分方程- ( ( x + 1) y′ )′=λ( x2 + 1) y  如何求通解，就把λ当一个常数吧，免得搞混淆了。

小木虫为什么不能贴图啊，，打这种符号真麻烦。。。希望斑斑能够体谅一下我们

[ Last edited by xinhero on 2009-12-9 at 17:29 ]