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xinhero

银虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 238.7
散金: 50
红花: 1
帖子: 374
在线: 142.6小时
虫号: 886206
注册: 2009-10-28
性别: GG
专业: 代数学

[交流] 问一个特征值的问题

方程：- ( ( x + 1) y′ )′=λ( x2 + 1) y , x ∈(0 ,1)
边界条件：y (0) = y (1) = 0
特征值λ怎么求啊
望高手帮忙

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1楼2009-12-07 12:27:02

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hellogod

木虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 3362.1
帖子: 414
在线: 260.1小时
虫号: 838723
注册: 2009-09-02
性别: GG
专业: 应用高分子化学与物理

是这样的吗？

★ ★ ★ ★
xinhero(金币+4,VIP+0):谢谢，应该差不多了，我再算算。只是觉得技巧性太高了，这种变化不容易想到吧 12-9 21:37

对于非常系数线性常微分方程没有一般解法。只能靠运气。所以这里求特征值是没有意义的。有意义的只是求解。利用求导法则，得到:λ(x^2+1)y+y(1)+(x+1)y(2)=0.再作变量代换：v=x+1,得到:vy(2)+y(1)+λy(V-1)^2=0.由于这是个特殊的线性变换，一阶与二阶导数不变。因此仍借用y(n)表示y对v的n阶导数。在此我们再作一次变量代换：t=1/v我们仍借用y(n)表示y对t的n阶导数，但此导数和对v的导数有明显的区别。这个关系可以用链式法则表示。得到：y(2)=4λy(t^4-2t^2+1).最后我们可以猜测它的解有如下形式：y=aexp(bt^3+ct^2+dt+e),求导带入得到关于a,b,c,d,e的方程。这里有5个未知数但只有4个方程，因此一定有解。再反代换回去可以得到y(x)的表达式。
再利用刘维尔公式，可以获得另一线性无关的解。将两解叠加，代入初值即可。
从此知会猜测一个特解是很重要的技能。
具体计算自己弄吧，我算的头痛。
另外，可以试着用matlab编程试一下。这样就很快得到了。注意用符号计算。得到解析解。