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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 【求助】某高校研究生入学考试固体物理习题求解
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shiningx

荣誉版主 (知名作家)

小木虫模范教师

[交流] 【求助】某高校研究生入学考试固体物理习题求解

看看大家的做法，谢谢
1. 试求5个原子组成的一维单原子晶格的格波频率。
2. 5个原子组成的一维有限晶格，假设首尾两个原子静止，中间3个原子偏离平衡位置的距离分别为x1,x2,x3,，原子间互作用力的常数为β，求振动频率。

[ Last edited by shiningx on 2009-12-4 at 11:21 ]
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这个家伙很懒，什么也没有留下
1楼 2009-12-03 20:07:34
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
dawnlight(金币+8,VIP+0):3x,感谢分享~，欢迎带来更多精彩。 12-5 17:46
GrasaVampiro(金币+12,VIP+0): 12-5 23:47
shiningx(金币+15,VIP+0):谢谢 12-6 11:05
这道题很简单，题的关键在于写出三个原子的运动方程。我已经很久没有做过固体题了，今天正好休息，还是由我亲自出手吧。哈哈。
题解如下（主意两端的原子固定已经体现在下面的方程中了）
m (d2x1/dt2)= β(x2 – x1) – βx1
m (d2x2/dt2)= β(x3 – x2) – β(x2 – x1)   
m (d2x3/dt2)=  -βx3 – β(x3 – x2)
由这三个式子，可以推得
(d2x1/dt2) + (2β/m)x1 - (β/m)x2 = 0
(d2x2/dt2) - (β/m)x1+ (2β/m)x2 - (β/m)x3 = 0
(d2x3/dt2) - (β/m)x2 +(2β/m)x2 = 0
令其解为x1=ae（iwt）, x2=be（iwt）, x3=ce（iwt），带入上式得（注意iwt在e指数的头上，但是系统无法显示。而a,b,c是振幅）
-w2a + (2β/m)a - (β/m)b = 0
-w2b - (β/m)a+ (2β/m)b - (β/m)c = 0
-w2c - (β/m)b +(2β/m)c = 0
把上面的式子整理一下，看成是关于a,b,c的线性方程，由于有解，所以行列式为0，即
(2β/m)-w2   -(β/m)   0
-(β/m)   (2β/m)-w2   -(β/m)       = 0
0        -(β/m)    (2β/m)-w2
可以解出三个w2的值，分别为(2-21/2)（β/m），2(β/m), (2+21/2)（β/m）。其中21/2 就是2开平方。这个结果你可以再CHECK一下。

要注意w2是指w平方。至于上下标的问题我想仔细辨认一下应该没有任何问题。

另外，第一问很简单，就是周期性的边界条件N=5时的特例。不再求解。

[ Last edited by yzcluster on 2009-12-5 at 17:36 ]
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15楼2009-12-05 17:16:24
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普通回帖

aristolee

铁杆木虫 (著名写手)

快乐家族之抿嘴笑：)
哇，这是物理专业的吧，太专业了，等牛人前来解答
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君子慎独！朝日载升，薨薨伊氓。于室有绩，于野有耕。于途有商，于边有征。天生斯民，相养以宁。嗟我何为？踽踽无营。初孰与我，今孰主我？我将往问，安所处我？
2楼2009-12-03 20:50:42
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zjciomp7973

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
shiningx(金币+1,VIP+0):谢谢回答，要是真那么简单的话就不用看看大家的解法了，呵呵 12-4 11:19
小木虫:)(金币+3,VIP+0):3q 12-4 17:18
说实话，此题简单！
作为研究生入学考试，本题应该是考察学生对晶格振动的基本理解，利用简谐近似，设位移具有弹性介质波‘格波’形式的解，利用周期性很容易的。

建议参考 黄昆先生的固体物体 第三章 里面有详细的一维原子单链简谐近似模型推导，非物理专业也能看懂。
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高功率半导体激光器
3楼2009-12-03 21:15:52
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zhanghong85

新虫 (小有名气)
不会哦。
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4楼2009-12-03 23:13:29
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jqz0001

铁杆木虫 (知名作家)
太专业了，无能为力

顶一下
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我是一个很怕主动联系别人的人。如果我主动联系你，说明我很在乎你。如果我不能主动联系你，那是因为我不知道自己在你的心中是否重要。
5楼2009-12-04 01:25:28
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guoguo1829

金虫 (小有名气)
无能为力!!
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人不是鱼，怎会了解鱼的忧愁。鱼不是鸟，怎会了解鸟的快乐。鸟不是人，怎会了解人的荒唐。你不是我，怎会了解我。
6楼2009-12-04 08:20:20
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lmart

金虫 (正式写手)

此题解答提示

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
shiningx(金币+8,VIP+0):貌似和我的想法一致的，谢谢回答 12-4 11:20
小木虫:)(金币+5,VIP+0):3q 12-4 17:19
这是一个非周期性边界条件问题，其解应该为驻波形式，解答提示为：
md^2x_n/dt^2=β(x_n+1+x_n-1-2x_n)   (n=5)      （1）
边界条件为 x_1=0,x_5=0
设解的形式为
x_n=A(n)e^{iwt}
代入（1）可定出A(n)，从而获得色散关系。
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7楼2009-12-04 08:28:18
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bluewpcj

木虫 (初入文坛)
这些题看去时那么的熟悉。。。可是现在确完全无能为力。知识不用早晚得忘。。。
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8楼2009-12-05 00:05:12
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林风忽忽吹

金虫 (小有名气)

飞龙在天
★ ★ ★ ★ ★
shiningx(金币+5,VIP+0):呵呵，这个解法就是最为普通的方法 12-5 13:29
只会做第一个，我正在学固体物理，做过作业的。用二楼的方程和试解， w（q）=2倍的根号下（贝特除以m）* |sin（qa/2）|，根据周期边界条件，q=（2pi/Na）L，以及-N/2
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曾经沧海难为水，除却巫山不是云
9楼2009-12-05 00:37:39
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doctall23

木虫 (著名写手)
了解，仅此而已
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10楼2009-12-05 02:16:34
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