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shiningx

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[交流] 【求助】某高校研究生入学考试固体物理习题求解

看看大家的做法，谢谢
1. 试求5个原子组成的一维单原子晶格的格波频率。
2. 5个原子组成的一维有限晶格，假设首尾两个原子静止，中间3个原子偏离平衡位置的距离分别为x1,x2,x3,，原子间互作用力的常数为β，求振动频率。

[ Last edited by shiningx on 2009-12-4 at 11:21 ]

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这个家伙很懒，什么也没有留下

1楼 2009-12-03 20:07:34

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yzcluster

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dawnlight(金币+8,VIP+0):3x,感谢分享~，欢迎带来更多精彩。 12-5 17:46
GrasaVampiro(金币+12,VIP+0): 12-5 23:47
shiningx(金币+15,VIP+0):谢谢 12-6 11:05

这道题很简单，题的关键在于写出三个原子的运动方程。我已经很久没有做过固体题了，今天正好休息，还是由我亲自出手吧。哈哈。
题解如下（主意两端的原子固定已经体现在下面的方程中了）
m (d2x1/dt2)= β(x2 – x1) – βx1
m (d2x2/dt2)= β(x3 – x2) – β(x2 – x1)
m (d2x3/dt2)=  -βx3 – β(x3 – x2)
由这三个式子，可以推得
(d2x1/dt2) + (2β/m)x1 - (β/m)x2 = 0
(d2x2/dt2) - (β/m)x1+ (2β/m)x2 - (β/m)x3 = 0
(d2x3/dt2) - (β/m)x2 +(2β/m)x2 = 0
令其解为x1=ae（iwt）, x2=be（iwt）, x3=ce（iwt），带入上式得（注意iwt在e指数的头上，但是系统无法显示。而a,b,c是振幅）
-w2a + (2β/m)a - (β/m)b = 0
-w2b - (β/m)a+ (2β/m)b - (β/m)c = 0
-w2c - (β/m)b +(2β/m)c = 0
把上面的式子整理一下，看成是关于a,b,c的线性方程，由于有解，所以行列式为0，即
(2β/m)-w2 -(β/m) 0
-(β/m) (2β/m)-w2 -(β/m)    = 0
0       -(β/m) (2β/m)-w2
可以解出三个w2的值，分别为(2-21/2)（β/m），2(β/m), (2+21/2)（β/m）。其中21/2 就是2开平方。这个结果你可以再CHECK一下。

要注意w2是指w平方。至于上下标的问题我想仔细辨认一下应该没有任何问题。

另外，第一问很简单，就是周期性的边界条件N=5时的特例。不再求解。

[ Last edited by yzcluster on 2009-12-5 at 17:36 ]