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某一非单调数列，该数列收敛于a,则其任一子数列收敛于a,反之是否成立，如何证明，并举出反例

@laosam280 发自小木虫Android客户端

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1楼 2017-02-04 11:57:27

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alober

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Edstrayer: 金币+2 2017-02-06 03:54:57

从定义就能证明吧，设序列 $\{x_n\}$ 收敛到a，再设它的一个子序列是 $\{x_{n_k}\}$ 。由收敛知对任意给定的 $\varepsilon > 0$ 都存在N，只要让 n>N 就有 $|x_n-a|<\varepsilon$ ，但是 $n_k \ge k$ ，所以当k>N时能保证 $n_k>N$ ，对这样的 $n_k$ 就有 $|x_{n_k}-a|<\varepsilon$ ，按极限的定义就得出子序列也收敛到a。

不知道这里的任一子序列是什么意思，如果是任何一个，那结论也正确，因为序列本身也是自己的一个子序列。如果是任取一个，那结论不正确，可以考察 $1,-1,1,-1 \cdots$ 这种序列，只取正的那个子序列就能收敛到1，但原序列不收敛。

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特斯拉1111

2楼2017-02-04 13:49:16

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2楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 13:49:16
从定义就能证明吧，设序列\{x_n\}收敛到a，再设它的一个子序列是\{x_{n_k}\}。由收敛知对任意给定的\varepsilon > 0都存在N，只要让 n>N 就有|x_n-a|<\varepsilon，但是n_k \ge k，所以当k>N时能保证n_ ...

那也就是说图片中标出的反之是成立的？

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3楼2017-02-04 14:41:46

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2楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 13:49:16
从定义就能证明吧，设序列\{x_n\}收敛到a，再设它的一个子序列是\{x_{n_k}\}。由收敛知对任意给定的\varepsilon > 0都存在N，只要让 n>N 就有|x_n-a|<\varepsilon，但是n_k \ge k，所以当k>N时能保证n_ ...

我比较在意这里的"反之不一定成立"，能不能证明

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4楼2017-02-04 15:00:28

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alober

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4楼: Originally posted by 特斯拉1111 at 2017-02-04 15:00:28
我比较在意这里的"反之不一定成立"，能不能证明
...

如果理解成任何一个子序列都收敛，则原序列也收敛，这是不用证明的。现在已经给出条件，已知“任何子序列”都收敛，因为原序列就是自己的一个子序列，所以可以用“原序列”替换“任何子序列”，马上就得到已知“原序列收敛”，都成为已知了就不用证明了吧。
如果理解成取出某一个子序列收敛，就按上边提供的序列1,-1,1,-1…这个就行，只取正1构成的子序列，收敛到1，但原序列不收敛。假设原序列收敛，则它的任何一个子序列都收敛到同一极限，所以取-1构成的那个子序列也必须收敛到1，这显然不正确，所以原序列不收敛。

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特斯拉1111

5楼2017-02-04 15:15:23

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5楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 15:15:23
如果理解成任何一个子序列都收敛，则原序列也收敛，这是不用证明的。现在已经给出条件，已知“任何子序列”都收敛，因为原序列就是自己的一个子序列，所以可以用“原序列”替换“任何子序列”，马上就得到已知“原 ...

懂了，万分感谢

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6楼2017-02-04 15:19:38

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5楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 15:15:23
如果理解成任何一个子序列都收敛，则原序列也收敛，这是不用证明的。现在已经给出条件，已知“任何子序列”都收敛，因为原序列就是自己的一个子序列，所以可以用“原序列”替换“任何子序列”，马上就得到已知“原 ...

这个怎么第二问怎么做

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7楼2017-03-09 11:17:46

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7楼: Originally posted by 特斯拉1111 at 2017-03-09 11:17:46
这个怎么第二问怎么做

...

$\lim_{x \to 0}f''(x)=\lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}-3x[f'(x)]^2}{x} \mathop{=}^{f'(0)=0} \lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}}{x} \mathop{=}^{L'Hospital} \lim_{x \to 0}\frac{e^{-x}}{1} = 1 > 0$

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8楼2017-03-09 13:44:16

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8楼: Originally posted by alober at 2017-03-09 13:44:16
\lim_{x \to 0}f''(x)=\lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}-3x^2}{x} \mathop{=}^{f'(0)=0} \lim_{x \to 0}\frac{1-e^{-x}}{x} \mathop{=}^{L'Hospital} \lim_{x \to 0}\frac{e^{-x}}{1} = 1 > 0...

然后呢？是用保号性吗？还是用连续性

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9楼2017-03-09 13:47:00

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9楼: Originally posted by 特斯拉1111 at 2017-03-09 13:47:00
然后呢？是用保号性吗？还是用连续性
...

两阶导数大于零时取极小值。

10楼2017-03-09 13:55:02

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