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特斯拉1111

新虫 (正式写手)

[求助] 求助

某一非单调数列，该数列收敛于a,则其任一子数列收敛于a,反之是否成立，如何证明，并举出反例

求助


@laosam280 发自小木虫Android客户端
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1楼 2017-02-04 11:57:27
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特斯拉1111

新虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 13:49:16
从定义就能证明吧，设序列\{x_n\}收敛到a，再设它的一个子序列是\{x_{n_k}\}。由收敛知对任意给定的\varepsilon > 0都存在N，只要让 n>N 就有|x_n-a|<\varepsilon，但是n_k \ge k，所以当k>N时能保证n_ ...

我比较在意这里的"反之不一定成立"，能不能证明

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4楼2017-02-04 15:00:28
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★
Edstrayer: 金币+2 2017-02-06 03:54:57
从定义就能证明吧，设序列收敛到a，再设它的一个子序列是。由收敛知对任意给定的都存在N，只要让 n>N 就有，但是，所以当k>N时能保证，对这样的就有，按极限的定义就得出子序列也收敛到a。

不知道这里的任一子序列是什么意思，如果是任何一个，那结论也正确，因为序列本身也是自己的一个子序列。如果是任取一个，那结论不正确，可以考察这种序列，只取正的那个子序列就能收敛到1，但原序列不收敛。
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特斯拉1111
2楼2017-02-04 13:49:16
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特斯拉1111

新虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-02-04 13:49:16
从定义就能证明吧，设序列\{x_n\}收敛到a，再设它的一个子序列是\{x_{n_k}\}。由收敛知对任意给定的\varepsilon > 0都存在N，只要让 n>N 就有|x_n-a|<\varepsilon，但是n_k \ge k，所以当k>N时能保证n_ ...

那也就是说图片中标出的反之是成立的？

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3楼2017-02-04 14:41:46
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 特斯拉1111 at 2017-02-04 15:00:28
我比较在意这里的"反之不一定成立"，能不能证明
...

如果理解成任何一个子序列都收敛，则原序列也收敛，这是不用证明的。现在已经给出条件，已知“任何子序列”都收敛，因为原序列就是自己的一个子序列，所以可以用“原序列”替换“任何子序列”，马上就得到已知“原序列收敛”，都成为已知了就不用证明了吧。
如果理解成取出某一个子序列收敛，就按上边提供的序列1,-1,1,-1…这个就行，只取正1构成的子序列，收敛到1，但原序列不收敛。假设原序列收敛，则它的任何一个子序列都收敛到同一极限，所以取-1构成的那个子序列也必须收敛到1，这显然不正确，所以原序列不收敛。
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特斯拉1111
5楼2017-02-04 15:15:23
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