证明积分不等式 - 数学 - 基础数学 - 第2页小木虫论坛-学术科研互动平台

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hank612

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3楼: Originally posted by shabaolin at 2016-07-13 06:21:43
估计要对积分里面的放缩，需要努力

先准备一些引理
1. $\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t}dt=\frac{3}{8}\int_{0}^1\frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{1}{8}\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt$

这由三角恒等式 $\cos{4x}-\cos{2x}=8\sin^4{x}-6\sin^2{x}$ 直接看出。

2. $\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t^3}dt=\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{\sin^4{x}}{2x^2}-\frac{\sin^2{x}\sin{2x}}{x}$

求导即得。

3. $\left(\frac{x}{\sin{x}}\right)^4>1+\frac{2}{3}x^2$ 当 $0<x<\frac{\pi}{2}$

不知道怎么证明

4. $\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{\pi t}}{t}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{11}{\pi^2}=0.302696$

因此 $\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{n \pi t}}{t}dt > \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

5. $\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}{t+1}dt >0$ ，

因为它大致等于 $\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac{\sin{n\pi t}}{n\pi}\left(\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{1}{(t+1+\frac{1}{n})^2}\right)dt$

6.当n为偶数时， $\int_0^1 \frac{\cos{n \pi t}{t+1}dt =\int_0^1 \frac{-\sin{n \pi t}}{n \pi (1+t)^2}dt=-\frac{3}{4}\frac{1}{(n \pi)^2}+\int_0^1 \frac{2\cos{n \pi t}}{(n \pi)^2(1+t)^3}dt$

因此，当n为偶数时，有 $\left|\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt\right|<\frac{11}{\pi^2}$

有了以上的开胃小菜后，终于可以开始正餐了，不过只能证明比较简单的右端那个不等式。主要想法是 3楼@shabaolin 指出的放缩法。

利用 $\frac{1}{\sin^4{t}}=\frac{1}{t^4}\cdot (\frac{t}{\sin{t}})^4>\frac{1+\frac{2}{3}t^2}{t^4}$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，如果能够证明 $4n^2\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4{nt}(1+\frac{2}{3}t^2)}{n^2 t^3}dt - \ln{2}\right)>0$ 就足够了。

根据上面两个不定积分的表达式，上式展开，稍加化简，得到
$\int_0^1 \frac{1-\cos{n \pi t}}{t}dt-\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{(-1)^n\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

无论n是奇数还是偶数，上面那些不等式足够推出该式大于零。这就证出了 @i维数右端的不等式。

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11楼2016-07-20 23:28:34

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11楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-20 23:28:34
先准备一些引理
1.\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t}dt=\frac{3}{8}\int_{0}^1\frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{1}{8}\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt

这由三角恒等式\cos{4x}-\cos{2x}=8\sin^4{x}-6\sin^2{x} ...

Invalid Equation 只是因为少敲了一个}，趁着文件还在，赶紧再发一次

5. $\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt >0$ ，

因为它大致等于 $\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac{\sin{n\pi t}}{n\pi}\left(\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{1}{(t+1+\frac{1}{n})^2}\right)dt$

6.当n为偶数时， $\int_0^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt =\int_0^1 \frac{-\sin{n \pi t}}{n \pi (1+t)^2}dt=-\frac{3}{4}\frac{1}{(n \pi)^2}+\int_0^1 \frac{2\cos{n \pi t}}{(n \pi)^2(1+t)^3}dt$

因此，当n为偶数时，有 $\left|\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt\right|<\frac{11}{\pi^2}$

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12楼2016-07-20 23:32:20

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12楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-20 23:32:20
Invalid Equation 只是因为少敲了一个}，趁着文件还在，赶紧再发一次

5.\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt >0，

因为它大致等于\sum_{k=0}^{}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac ...

谢谢大神！看得晕晕的

。。。我有几点不明白：1.6最后那个积分不是发散的吗？2.引理5的作用是什么？3.最后是怎么化简成那个表达式的？

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13楼2016-07-22 01:52:17

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13楼: Originally posted by i维数 at 2016-07-22 01:52:17
谢谢大神！看得晕晕的

。。。我有几点不明白：1.6最后那个积分不是发散的吗？2.引理5的作用是什么？3.最后是怎么化简成那个表达式的？...

@i维数你的观察是完全正确的. 这一次非常难得没有计算错误, 不过敲符号时分母上漏了+1, 就是你发现的错误了.

我们想估算的是 $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^4{nt}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4{nt}}{t}dt-4n^2\ln{2}$ ,

也就是 $4n^2\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}} \frac{\sin^4{t}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^4{t}}{t}dt-4n^2\ln{2 }$

套用公式, 两个积分分别是 $4n^2\left(\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2}\right)$ 和 $\int_0^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt$

注意到 $4n^2\int_1^2\frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-4n^2\ln{2}=-4n^2\int_1^2\frac{\cos{n\pi t}}{t} dt$ ,

以及 $4n^2\cdot \frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2} =\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$ ,

还有 $frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt =\frac{\ln{2}}{3}-\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{3}dt$ , 还有做变量替换后的 $\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt=\int_{0}^1 \frac{(-1)^n \cos{n\pi t}}{t+1}dt$

目标表达式等于 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt+\frac{(-1)^{n+1}(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

当n是奇数时, 有 $}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt >0$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{8}{\pi^2}$

当n是偶数时, 有 $}\left|\frac{(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt \right| < \frac{11}{\pi^2}$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

总之, 楼主请放心, 你的不等式(右半部分)即使经过多次放缩, 依然还是成立的.

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14楼2016-07-22 03:03:07

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14楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-22 03:03:07
i维数你的观察是完全正确的. 这一次非常难得没有计算错误, 不过敲符号时分母上漏了+1, 就是你发现的错误了.

我们想估算的是 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^4{nt}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{ ...

目标表达式等于 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt+\frac{(-1)^{n+1}(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

当n是奇数时, 有 $\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt >0$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{8}{\pi^2}$

当n是偶数时, 有 $\left|\frac{(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt \right| < \frac{11}{\pi^2}$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

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15楼2016-07-22 03:04:43

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送红花一朵

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懂啦，非常感谢大神！

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16楼2016-07-23 14:11:46

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补充一下引理3的证明。

不等式.png

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17楼2016-07-23 17:38:22

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