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木虫 (正式写手)

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[求助] 证明积分不等式

如图。我的想法是证明那个表达式是递减数列，然后就出来了，但不会证明。。。求助各位大神！谢了！

积分不等式.png

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1楼2016-07-12 00:15:52

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

11楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-20 23:28:34
先准备一些引理
1.\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t}dt=\frac{3}{8}\int_{0}^1\frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{1}{8}\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt

这由三角恒等式\cos{4x}-\cos{2x}=8\sin^4{x}-6\sin^2{x} ...

Invalid Equation 只是因为少敲了一个}，趁着文件还在，赶紧再发一次

5. $\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt >0$ ，

因为它大致等于 $\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac{\sin{n\pi t}}{n\pi}\left(\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{1}{(t+1+\frac{1}{n})^2}\right)dt$

6.当n为偶数时， $\int_0^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt =\int_0^1 \frac{-\sin{n \pi t}}{n \pi (1+t)^2}dt=-\frac{3}{4}\frac{1}{(n \pi)^2}+\int_0^1 \frac{2\cos{n \pi t}}{(n \pi)^2(1+t)^3}dt$

因此，当n为偶数时，有 $\left|\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt\right|<\frac{11}{\pi^2}$