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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 证明积分不等式

如图。我的想法是证明那个表达式是递减数列，然后就出来了，但不会证明。。。求助各位大神！谢了！

积分不等式.png

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1楼2016-07-12 00:15:52

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

3楼: Originally posted by shabaolin at 2016-07-13 06:21:43
估计要对积分里面的放缩，需要努力

先准备一些引理
1. $\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t}dt=\frac{3}{8}\int_{0}^1\frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{1}{8}\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt$

这由三角恒等式 $\cos{4x}-\cos{2x}=8\sin^4{x}-6\sin^2{x}$ 直接看出。

2. $\int_{0}^x \frac{\sin^4{t}}{t^3}dt=\int_{1}^2 \frac{1-\cos{2xt}}{t}dt-\frac{\sin^4{x}}{2x^2}-\frac{\sin^2{x}\sin{2x}}{x}$

求导即得。

3. $\left(\frac{x}{\sin{x}}\right)^4>1+\frac{2}{3}x^2$ 当 $0<x<\frac{\pi}{2}$

不知道怎么证明

4. $\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{\pi t}}{t}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{11}{\pi^2}=0.302696$

因此 $\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{n \pi t}}{t}dt > \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

5. $\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}{t+1}dt >0$ ，

因为它大致等于 $\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac{\sin{n\pi t}}{n\pi}\left(\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{1}{(t+1+\frac{1}{n})^2}\right)dt$

6.当n为偶数时， $\int_0^1 \frac{\cos{n \pi t}{t+1}dt =\int_0^1 \frac{-\sin{n \pi t}}{n \pi (1+t)^2}dt=-\frac{3}{4}\frac{1}{(n \pi)^2}+\int_0^1 \frac{2\cos{n \pi t}}{(n \pi)^2(1+t)^3}dt$

因此，当n为偶数时，有 $\left|\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt\right|<\frac{11}{\pi^2}$

有了以上的开胃小菜后，终于可以开始正餐了，不过只能证明比较简单的右端那个不等式。主要想法是 3楼@shabaolin 指出的放缩法。

利用 $\frac{1}{\sin^4{t}}=\frac{1}{t^4}\cdot (\frac{t}{\sin{t}})^4>\frac{1+\frac{2}{3}t^2}{t^4}$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，如果能够证明 $4n^2\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4{nt}(1+\frac{2}{3}t^2)}{n^2 t^3}dt - \ln{2}\right)>0$ 就足够了。

根据上面两个不定积分的表达式，上式展开，稍加化简，得到
$\int_0^1 \frac{1-\cos{n \pi t}}{t}dt-\frac{12n^2-1}{3}\int_0^1 \frac{(-1)^n\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

无论n是奇数还是偶数，上面那些不等式足够推出该式大于零。这就证出了 @i维数右端的不等式。