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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 证明积分不等式

如图。我的想法是证明那个表达式是递减数列，然后就出来了，但不会证明。。。求助各位大神！谢了！

积分不等式.png

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1楼 2016-07-12 00:15:52

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

13楼: Originally posted by i维数 at 2016-07-22 01:52:17
谢谢大神！看得晕晕的

。。。我有几点不明白：1.6最后那个积分不是发散的吗？2.引理5的作用是什么？3.最后是怎么化简成那个表达式的？...

@i维数你的观察是完全正确的. 这一次非常难得没有计算错误, 不过敲符号时分母上漏了+1, 就是你发现的错误了.

我们想估算的是 $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^4{nt}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4{nt}}{t}dt-4n^2\ln{2}$ ,

也就是 $4n^2\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}} \frac{\sin^4{t}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^4{t}}{t}dt-4n^2\ln{2 }$

套用公式, 两个积分分别是 $4n^2\left(\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2}\right)$ 和 $\int_0^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt$

注意到 $4n^2\int_1^2\frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-4n^2\ln{2}=-4n^2\int_1^2\frac{\cos{n\pi t}}{t} dt$ ,

以及 $4n^2\cdot \frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2} =\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$ ,

还有 $frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt =\frac{\ln{2}}{3}-\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{3}dt$ , 还有做变量替换后的 $\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt=\int_{0}^1 \frac{(-1)^n \cos{n\pi t}}{t+1}dt$

目标表达式等于 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt+\frac{(-1)^{n+1}(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

当n是奇数时, 有 $}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt >0$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{8}{\pi^2}$

当n是偶数时, 有 $}\left|\frac{(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt \right| < \frac{11}{\pi^2}$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

总之, 楼主请放心, 你的不等式(右半部分)即使经过多次放缩, 依然还是成立的.