[数学] 某著名教科书的一处错误 (金币多得晃眼) - 数理科学综合

257楼2016-06-04 18:26:48

shabaolin

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怎么老是有帖子说关于映射啊，集合啊等一些有错误，怎么不去探索一下新领域

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269楼2016-06-06 03:30:28

jiaguobin

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楼主厉害

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290楼2016-06-06 11:21:30

欧冶子_龙泉

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294楼2016-06-06 23:34:58

hank612

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@gold2007 是太较真了, 这些错误反正无关大雅, 一般老师课上讲到时会顺便提一下这引理是错的, 给个反例, 仅此而已.

比如, 考虑Hilbert空间 $H=l^2(R):=\{(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)|\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2<\infty\}$

考虑线性算子 $T(x_1,x_2,...,x_n,...)=(x_1,\frac{x_2}{2},...,\frac{x_n}{n},...)$

由于T 明显是单射, 所以 Ker(T)=0, 那么 $\perp N(T)=H$ 是全空间.

由于 H 上内积由 $(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ 给出, 那么从 $(x,Ty)=(T^*x,y)$ 知道 $T^*=T$

可是, R(T) 不是全空间, 譬如, $(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n},...)$ 是H中的一个元素, 却不是R(T)中的元素, 因为它"虚幻的"原像 (1,1,...,1..)根本不是H的元素.

即使考虑R(T)的闭包, 闭包也不能包含这个元素, 任何在H中趋近这个元素的元素, 同样会有原像不在H 中的问题.

因此, $\perp N(T*) \neq \bar{R(T)}$

这样的反例很多, 不过都要求Banach 空间是无限维的. 在有限维情况下,你给出的引理是正确的.

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gold2007

295楼2016-06-10 00:57:32

匿名

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296楼2016-06-10 07:32:52

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bo_hua

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人非圣贤，孰能无过

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298楼2016-06-14 12:46:02

gold2007

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引用回帖:

187楼: Originally posted by woshiqiujun at 2016-06-02 22:17:36
那就去读rudin或者lax的书啊干嘛用国内的但是我不太相信如果是几十年的流行教材会有错误因为用的人太多了楼主的这本书没读过记号也挺老的

Rudin的泛函分析，我硕士时读的，但不是以此为教材，我们的教材是Reed&Simon前两卷，所以呢，不用担心书上有莫名其妙的错误。Rudin这本书的风格追求一般性，写得不如他自己的另一本名著实分析与复分析，入门学一学尚可，搞研究则远远不够。
Lax那本书体系好，与Brezis的书一起成为近年新出英文书的经典。
一楼这本书，名为泛函分析讲义，是北京大学张恭庆院士所写，一些大学拿上册作为本科生教材，自从1988年出版以来印刷了无数次，在国内传播很广。

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299楼2016-06-14 17:01:57