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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

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[交流] [数学] 某著名教科书的一处错误 (金币多得晃眼)

有人认为写成教科书的内容必定是正确的，然而事实并非如此。
古人云，尽信书，则不如无书。

当今编书质量日益下滑，更应当引起警惕。
譬如个人知道，某C9高校某专业（该专业连续多年在全国排名第一）某精品课程的一系列教材，是这样炮制出来的：
1. 主持人抓几个老师分工编写。
2. 几个领衔写书的老师，有的比较笨，居然真的花费极大心血，勤勤恳恳地写好了一本书，质量相当高；有的老师就很聪明，把书分派给几个本科生写，每人负责一章（这是怎么被发现的呢？原来是院系安排活动，几个大四女生却要请假，理由刚刚的：“某老师让我们写某某书，要求每人写一章，催得很紧的，我们除了写书还要准备论文答辩，实在没有空哇”），然后同样交差拿好处。

所以呀，学习时要会鉴别，否则万一买到了大四女生们花一个月时间拼凑出来的教材。。。

好了，现在来看当今很流行的一本泛函分析教材上面的一个错误引理。
能看出错误的童鞋得100金币，
能找出反例的童鞋得400金币，
上述金币，先回答正确的人先得，后回答正确的人不得，
余下的166金币随机发送。
这里花写的X表示一个Banach空间，花写的L(X)表示X上的有界线性算子空间。

记号.PNG

张恭庆, 泛函分析, 上, 218页.PNG

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1楼 2016-05-30 11:48:27

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★
gold2007(金币+1): 谢谢参与

@gold2007 是太较真了, 这些错误反正无关大雅, 一般老师课上讲到时会顺便提一下这引理是错的, 给个反例, 仅此而已.

比如, 考虑Hilbert空间 $H=l^2(R):=\{(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)|\sum_{k=1}^{\infty} x_k^2<\infty\}$

考虑线性算子 $T(x_1,x_2,...,x_n,...)=(x_1,\frac{x_2}{2},...,\frac{x_n}{n},...)$

由于T 明显是单射, 所以 Ker(T)=0, 那么 $\perp N(T)=H$ 是全空间.

由于 H 上内积由 $(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty} x_ky_k$ 给出, 那么从 $(x,Ty)=(T^*x,y)$ 知道 $T^*=T$

可是, R(T) 不是全空间, 譬如, $(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n},...)$ 是H中的一个元素, 却不是R(T)中的元素, 因为它"虚幻的"原像 (1,1,...,1..)根本不是H的元素.

即使考虑R(T)的闭包, 闭包也不能包含这个元素, 任何在H中趋近这个元素的元素, 同样会有原像不在H 中的问题.

因此, $\perp N(T*) \neq \bar{R(T)}$

这样的反例很多, 不过都要求Banach 空间是无限维的. 在有限维情况下,你给出的引理是正确的.