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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 数学分析题
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
10楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 11:31:44
提示：用Taylor公式，再构作辅助函数

我不太善于自己去构造函数去证明问题，这对我有难度，大神就帮人帮到底，把函数告诉我吧

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11楼2016-05-22 12:07:15
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

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数学分析题



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李干是
12楼2016-05-22 15:11:58
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李干是

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
12楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 15:11:58
答案见图

非常感谢

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13楼2016-05-22 15:18:27
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
我这个证明的思路，是由那一点2阶导数不为0，想到：该点充分小邻域内，函数近似为严格凸或者严格凹，通过画图想出来的。

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14楼2016-05-22 15:18:33
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
14楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 15:18:33
我这个证明的思路，是由那一点2阶导数不为0，想到：该点充分小邻域内，函数近似为严格凸或者严格凹，通过画图想出来的。

我也按照函数的凹凸性想过，可是我没有尝试用构造函数的方法来证明，只是用该函数的再改点局部的性质试图去说明，让我陷入一片混乱

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15楼2016-05-22 15:21:45
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by hylpy at 2016-05-21 14:10:25
引进辅助涵数：g(x)=x;
f(x),g(x)在(x_1,x_2)内满足拉格朗日中值定理条件,应用该中值定理，即得：
{f(x_1)-f(x_2)}/{g(x_1)-g(x_2)}={f(x_1)-f(x_2)}/{x_1-x_2}=f’(η);η∈(x_1,x_2){∈(a,b)}.

此处应该是柯西中值定理，而非拉格朗日中值定理
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凡事，一笑而过。。。。。。
16楼2016-05-23 08:58:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by hylpy at 2016-05-23 08:58:12
此处应该是柯西中值定理，而非拉格朗日中值定理...

其实，根据我前面那个帖子， 只要不是全局最大值或最小值 （该条件比二次导数为零 要弱), 而取A， B分别取到一阶导的最值，由于g(x) 变号， 题目中的结论都显然成立。
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We_must_know. We_will_know.
17楼2016-05-23 09:22:17
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
17楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-23 09:22:17
其实，根据我前面那个帖子， 只要f^{\prime}(\eta)不是全局最大值或最小值 （该条件比二次导数为零 要弱), 而取A， B分别取到一阶导的最值，由于g(x) 变号， 题目中的结论都显然成立。...

不明白为什么一定能在给定的开区间取到一阶导的最值？即使取到，为什么g变号？能否请您详细写一下？

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18楼2016-05-23 11:15:32
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-22 01:37:59
按照 hylpy的思路，任给A，B 两点，考虑函数
g(x)=(\frac{f(x)-f(A)}{x-A}-f^{\prime}(\eta))(\frac{f(B)-f(x)}{B-x}-f^{\prime}(\eta))

\it{\bf{IF}} 我们能够找到适当的A，B使得g(x) 在两个端点A，B处取值异 ...

函数g有3个自变量x, A, B, 不太好处理吧

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19楼2016-05-23 11:31:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★
李干是(Edstrayer代发): 金币+5 2016-05-23 15:41:07
引用回帖:
18楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-23 11:15:32
不明白为什么一定能在给定的开区间取到一阶导的最值？即使取到，为什么g变号？能否请您详细写一下？
...

谢谢你的探讨，我的论述确实不严谨，在开区间上不一定取到最值。 我偷梁换柱一下， 命题可能与 @李干是 的略有不同。

命题： f(x) 在 (a,b) 上处处可导 (导函数不要求连续), 常数c 介于 与 之间，
则存在(a,b)中两点C,D 使得

证明：有题设条件，存在两点A， B使得.
考虑辅助函数, 注意到 , 恰好异号， 于是连续函数 g(x) 在(A,B)上取到零值，记为 g(T)=0.

那么， 要么, 要么, 总之命题是成立的。
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We_must_know. We_will_know.
20楼2016-05-23 12:22:33
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