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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 数学分析题 已有3人参与

介值性问题(O_O)？

数学分析题


@laosam280 发自小木虫Android客户端
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1楼 2016-05-20 22:48:58
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

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答案见图
数学分析题-1



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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

李干是
12楼2016-05-22 15:11:58
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引进辅助涵数：g(x)=x;
f(x),g(x)在(x_1,x_2)[包含于（a,b）]内满足拉格朗日中值定理条件,应用该中值定理，即得：
{f(x_1)-f(x_2)}/{g(x_1)-g(x_2)}={f(x_1)-f(x_2)}/{x_1-x_2}=f’(η);η∈(x_1,x_2){∈(a,b)}.
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凡事，一笑而过。。。。。。
5楼2016-05-21 14:10:25
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
14楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-22 15:18:33
我这个证明的思路，是由那一点2阶导数不为0，想到：该点充分小邻域内，函数近似为严格凸或者严格凹，通过画图想出来的。

我也按照函数的凹凸性想过，可是我没有尝试用构造函数的方法来证明，只是用该函数的再改点局部的性质试图去说明，让我陷入一片混乱

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15楼2016-05-22 15:21:45
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★
李干是(Edstrayer代发): 金币+5 2016-05-23 15:41:07
引用回帖:
18楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-23 11:15:32
不明白为什么一定能在给定的开区间取到一阶导的最值？即使取到，为什么g变号？能否请您详细写一下？
...

谢谢你的探讨，我的论述确实不严谨，在开区间上不一定取到最值。 我偷梁换柱一下， 命题可能与 @李干是 的略有不同。

命题： f(x) 在 (a,b) 上处处可导 (导函数不要求连续), 常数c 介于 与 之间，
则存在(a,b)中两点C,D 使得

证明：有题设条件，存在两点A， B使得.
考虑辅助函数, 注意到 , 恰好异号， 于是连续函数 g(x) 在(A,B)上取到零值，记为 g(T)=0.

那么， 要么, 要么, 总之命题是成立的。
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We_must_know. We_will_know.
20楼2016-05-23 12:22:33
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
这题目本身不对吧？在区间（1/2，5/4）上考察函数f(x)=x^2, f“（1）>0, 但在该区间上找不到满足条件的点

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2楼2016-05-21 09:08:29
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
上面举的例子有问题。题目本身的结论是可以证明的。

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3楼2016-05-21 11:11:53
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李干是

新虫 (小有名气)
我就想知道怎么证明？

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4楼2016-05-21 11:23:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

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个人觉得其实用不着二阶导数存在，只要一阶导数连续，不就能由拉格朗日定理得到结论嘛。
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6楼2016-05-21 15:58:45
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2016-05-21 15:58:45
个人觉得其实用不着二阶导数存在，只要一阶导数连续，不就能由拉格朗日定理得到结论嘛。

其实，你理解错了，那个η是预先给定的，不是后来有了X1与X2之后才有的η，而是现有η，让你来寻求X1，2

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7楼2016-05-21 17:11:27
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 李干是 at 2016-05-21 17:11:27
其实，你理解错了，那个η是预先给定的，不是后来有了X1与X2之后才有的η，而是现有η，让你来寻求X1，2
...

按照 hylpy的思路，任给A，B 两点，考虑函数


我们能够找到适当的A，B使得g(x) 在两个端点A，B处取值异号，那么根据 李干是 的“介值性问题” 的提示，应该就可以解决问题了。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2016-05-22 01:37:59
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李干是

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引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-22 01:37:59
按照 hylpy的思路，任给A，B 两点，考虑函数
g(x)=(\frac{f(x)-f(A)}{x-A}-f^{\prime}(\eta))(\frac{f(B)-f(x)}{B-x}-f^{\prime}(\eta))

\it{\bf{IF}} 我们能够找到适当的A，B使得g(x) 在两个端点A，B处取值异 ...

我去试试

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9楼2016-05-22 08:02:23
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
提示：用Taylor公式，再构作辅助函数

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10楼2016-05-22 11:31:44
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