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李干是

新虫 (小有名气)

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@laosam280 发自小木虫Android客户端

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1楼 2016-05-20 22:48:58

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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李干是(Edstrayer代发): 金币+5 2016-05-23 15:41:07

引用回帖:

18楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-23 11:15:32
不明白为什么一定能在给定的开区间取到一阶导的最值？即使取到，为什么g变号？能否请您详细写一下？
...

谢谢你的探讨，我的论述确实不严谨，在开区间上不一定取到最值。我偷梁换柱一下，命题可能与 @李干是的略有不同。

命题： f(x) 在 (a,b) 上处处可导 (导函数不要求连续), 常数c 介于 $\sup_{x\in (a,b)}f^{\prime}(x)$ 与 $\inf_{y\in (a,b)}f^{\prime}(y)$ 之间，
则存在(a,b)中两点C,D 使得 $\frac{f(C)-f(D)}{C-D}=c$

证明：有题设条件，存在两点A， B使得 $f^{\prime}(A)<c<f^{\prime}(B)$ .
考虑辅助函数 $g(x)=(\frac{f(x)-f(A)}{x-A}-c)\cdot (\frac{f(B)-f(x)}{B-x}-c)$ , 注意到 $g(A)=(f^{\prime}(A)-c)\cdot (\frac{f(B)-f(A)}{B-A}-c)$ , $g(B)=(f^{\prime}(B)-c)\cdot (\frac{f(B)-f(A)}{B-A}-c)$ 恰好异号，于是连续函数 g(x) 在(A,B)上取到零值，记为 g(T)=0.

那么，要么 $\frac{f(T)-f(A)}{T-A}=c$ , 要么 $\frac{f(B)-f(T)}{B-T}=c$ , 总之命题是成立的。