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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复变函数题目
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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 复变函数题目 已有2人参与

复变刚开始，帮帮忙啊

复变函数题目


@laosam280 发自小木虫Android客户端
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1楼 2016-04-23 21:29:12
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
1】n=0 成立；
    n=1 成立；
2】假定 n=k 时成立，推求 n=k+1 时成立【用数学归纳法】。
P_(k+1)=P_(k)*(z - z_(k+1))
a_(k+1)=a_(k)*z_(k+1)，取模值，比较
3】略
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2楼2016-04-24 23:48:17
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2016-04-24 23:48:17
1】n=0 成立；
    n=1 成立；
2】假定 n=k 时成立，推求 n=k+1 时成立【用数学归纳法】。
P_(k+1)=P_(k)*(z - z_(k+1))
a_(k+1)=a_(k)*z_(k+1)，取模值，比较
3】略

我有点愚钝，没有看懂这怎么能得出第k+1个解的模大于1

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3楼2016-04-25 21:24:47
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 李干是 at 2016-04-25 21:24:47
我有点愚钝，没有看懂这怎么能得出第k+1个解的模大于1
...

考虑在单位圆周但挖去z=1处一个很小的圆上的性质，
令为常数函数，则在单位圆周但在z=1处向内挖去一个很小的圆上恒成立， 因为, 于是由Rouche定理，  g(z) 在单位圆内（挖去z=1小邻域）无零点，换句话说， f(z) 在单位圆内（挖去z=1小邻域）无零点. 由于小邻域可以任意小，所以f(z) 在单位圆内无零点，除非f(1)=0. 但显然z=1不是f(z)的零点。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9's_theorem
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We_must_know. We_will_know.
4楼2016-05-18 13:40:32
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
复变函数题目-1

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5楼2016-05-19 12:16:17
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-19 12:16:17

题目条件不对！
复变函数题目-2


复变函数题目-3



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6楼2016-05-19 12:17:51
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
在你的题中，令z=1/y，可化为书上情形

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7楼2016-05-19 12:23:16
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-19 12:17:51
题目条件不对！


...

感谢 @gold2007 大神的考证

如果令w=1/z,由于 的零点都在单位圆内，那么的所有零点自然没有一个在单位圆内。

一句话的证明，牛。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2016-05-19 12:33:21
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-19 12:33:21
感谢 gold2007 大神的考证

如果令w=1/z,由于 g(w)=a_0+a_1w+\dots+a_nw^n的零点都在单位圆内，那么f(z)=z^n\cdot g(1/z)的所有零点自然没有一个在单位圆内。

一句话的证明，牛。...

我只想到Rouche定理，翻书翻出来这个解答。各常数若有相等的话，证明能否通过还需推敲。

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9楼2016-05-19 12:43:09
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