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李干是

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[求助] 复变函数题目已有2人参与

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1楼 2016-04-23 21:29:12

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feixiaolin

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

1】n=0 成立；
n=1 成立；
2】假定 n=k 时成立，推求 n=k+1 时成立【用数学归纳法】。
P_(k+1)=P_(k)*(z - z_(k+1))
a_(k+1)=a_(k)*z_(k+1)，取模值，比较
3】略

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2楼2016-04-24 23:48:17

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李干是

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2016-04-24 23:48:17
1】n=0 成立；
n=1 成立；
2】假定 n=k 时成立，推求 n=k+1 时成立【用数学归纳法】。
P_(k+1)=P_(k)*(z - z_(k+1))
a_(k+1)=a_(k)*z_(k+1)，取模值，比较
3】略

我有点愚钝，没有看懂这怎么能得出第k+1个解的模大于1

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3楼2016-04-25 21:24:47

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hank612

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3楼: Originally posted by 李干是 at 2016-04-25 21:24:47
我有点愚钝，没有看懂这怎么能得出第k+1个解的模大于1
...

考虑 $g(z)=(z-1)*f(z)=a_0z^{n+1}+(a_1-a_0)z^n+\dots+(a_n-a_{n-1})z-a_n$ 在单位圆周但挖去z=1处一个很小的圆上的性质，
令 $F(z)=-a_n$ 为常数函数，则 $|g(z)-F(z)|<|F(z)|$ 在单位圆周但在z=1处向内挖去一个很小的圆上恒成立，因为 $|g(z)-F(z)|<a_0+(a_1-a_0)+\dots+(a_n-a_{n-1})=a_n$ , 于是由Rouche定理， g(z) 在单位圆内（挖去z=1小邻域）无零点，换句话说， f(z) 在单位圆内（挖去z=1小邻域）无零点. 由于小邻域可以任意小，所以f(z) 在单位圆内无零点，除非f(1)=0. 但显然z=1不是f(z)的零点。

https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9's_theorem

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4楼2016-05-18 13:40:32

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5楼2016-05-19 12:16:17

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【答案】应助回帖

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5楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-19 12:16:17

题目条件不对！

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6楼2016-05-19 12:17:51

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在你的题中，令z=1/y，可化为书上情形

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7楼2016-05-19 12:23:16

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hank612

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6楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-19 12:17:51
题目条件不对！

...

感谢 @gold2007 大神的考证

如果令w=1/z,由于 $g(w)=a_0+a_1w+\dots+a_nw^n$ 的零点都在单位圆内，那么 $f(z)=z^n\cdot g(1/z)$ 的所有零点自然没有一个在单位圆内。

一句话的证明，牛。

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8楼2016-05-19 12:33:21

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8楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-19 12:33:21
感谢 gold2007 大神的考证

如果令w=1/z,由于 g(w)=a_0+a_1w+\dots+a_nw^n的零点都在单位圆内，那么f(z)=z^n\cdot g(1/z)的所有零点自然没有一个在单位圆内。

一句话的证明，牛。...

我只想到Rouche定理，翻书翻出来这个解答。各常数若有相等的话，证明能否通过还需推敲。

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9楼2016-05-19 12:43:09

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