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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求解复变函数的一道证明题
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cacarote01

新虫 (初入文坛)

[求助] 求解复变函数的一道证明题 已有1人参与

本人最近由于课题需要，接触了一点点复变函数。在看到洛朗展开和留数定理那部分时，发现一道证明题，想了很久没做出来，请各位前辈指点！
假设C是环绕单位圆的一条封闭曲线，z点在单位圆内，试证：

求解复变函数的一道证明题
试证.png
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1楼 2016-03-13 17:41:02
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cacarote01: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-03-14 08:53:49
本帖内容被屏蔽
2楼2016-03-13 19:10:21
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shenyxtata

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2016-03-13 19:10:21
当n大于0时候，复合闭路定理，结果等于解析函数的闭曲线积分，利用柯西积分定理，结果为0；
当n等于0时候，柯西积分公式，直接得出后面的积分值为2*pi*i，最后结果等于1.

n>0的时候被积函数在单位圆内也不是解析函数。
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3楼2016-03-13 21:55:43
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shenyxtata

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

n=1的时候为0
n为整数且不等于1时为1/z^n
n不为整数时比较复杂，得考虑branch cut。楼主先确认n是不是整数吧。
赞一下(1人) 回复此楼
4楼2016-03-13 22:06:46
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fshyy

铁虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cacarote01: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-03-14 08:54:07
（1）n=0时，用Cauthy积分公式直接得1
（2）n>0时，被积函数在积分曲线内有两个奇点0和z,可考虑用留数定理，计算被积函数在两个奇点0和z的留数之和。显然，z为一级极点。若n为整数则0为n级极点，n不是整数则比较难判断。也可考虑第二个留数定理，把积分转化为在无穷远点的留数计算。
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5楼2016-03-13 22:55:10
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cacarote01: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-03-15 08:34:42
你确认这个结果是对的？里面两个奇点，0 和 z，分别用柯西积分公式求就可以了（n=0时 0 是可去奇点）。题目中 n 应该是整数，如果 n 不是整数的话那就是多值函数了，那个就别管了。
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学术无国界。
6楼2016-03-14 09:30:04
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