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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 在数学中为何要研究空间的性质？
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rbysdzyga

捐助贵宾 (正式写手)

[交流] 在数学中为何要研究空间的性质？ 已有2人参与

我只学习过高数，不太理解空间在数学中的重要性，能不能用欧氏空间举一个简单的例子来说明一下这个问题？
另外，在泛函里面主要研究的是空间的哪些方面的性质？
谢谢
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1楼 2015-12-16 10:46:58
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哎哟喂哟

金虫 (正式写手)
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rbysdzyga: 金币+3 2015-12-16 17:54:49
泰勒展开就是在函数空间的应用 选定了一个基 然后系数就是空间内的坐标

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子非鱼，焉知鱼之乐
2楼2015-12-16 14:26:49
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sskkyy

银虫 (正式写手)
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数学研究的对象主要是：数和几何体。
对于几何体，一般都是欧氏空间中的，所以就有了空间。而对于数，最简单的是自然数，扩大一下就有整数，有理数，完备一下就有实数，而实数又是坐标的分量，也是欧氏空间的一部分。当然欧氏空间有很多推广就是各种各样的其他的空间了。但要记住：绝大数的数学对象在低维欧氏空间中都有影子。

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3楼2015-12-16 14:40:07
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sskkyy

银虫 (正式写手)
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rbysdzyga: 金币+3 2015-12-16 17:57:03
泛函可以理解为有限维欧氏空间推广到无穷维，它主要研究度量，内积，收敛，函数等等怎样推广过去。

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4楼2015-12-16 14:44:27
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rbysdzyga

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2楼: Originally posted by 哎哟喂哟 at 2015-12-16 14:26:49
泰勒展开就是在函数空间的应用 选定了一个基 然后系数就是空间内的坐标

选定的这个基是多项式还是导数部分？
在泰勒公式里面是怎样体现对空间性质的讨论的？
谢谢
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5楼2015-12-16 17:56:09
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rbysdzyga

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4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-16 14:44:27
泛函可以理解为有限维欧氏空间推广到无穷维，它主要研究度量，内积，收敛，函数等等怎样推广过去。

不太理解泛函为什么要推广到无穷维？是为了构造足够的基来近似吗？
在这里研究空间性质的意义是什么？
谢谢
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6楼2015-12-16 17:59:05
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uvwxmc

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rbysdzyga: 金币+1 2015-12-16 19:09:48
你应该把‘空间’换成‘几何’。你等于对几何在数学中的分量没有觉悟。人脑的空间想象、操作、推理能力是几何学的物质基础，不使用这个本能，就像一个人虽然有健康的左手但是从来不用一样奇怪。
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7楼2015-12-16 19:01:27
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rbysdzyga

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7楼: Originally posted by uvwxmc at 2015-12-16 19:01:27
你应该把‘空间’换成‘几何’。你等于对几何在数学中的分量没有觉悟。人脑的空间想象、操作、推理能力是几何学的物质基础，不使用这个本能，就像一个人虽然有健康的左手但是从来不用一样奇怪。

谢谢你的评价，我不明白你说的“几何在数学中的分量”是什么意思，我问的问题是研究空间性质的意义是什么，我想通过了解这个意义来更好的开始学习泛函。
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8楼2015-12-16 19:13:23
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哎哟喂哟

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rbysdzyga: 金币+3 2015-12-16 20:28:07
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5楼: Originally posted by rbysdzyga at 2015-12-16 17:56:09
选定的这个基是多项式还是导数部分？
在泰勒公式里面是怎样体现对空间性质的讨论的？
谢谢...

闭区间连续函数可以 用多项式逼近。多项式组成了多项式空间，平方，立方，…n次方你可以是多项式空间的基，那个不同的导数你可以理解成坐标

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rbysdzyga
子非鱼，焉知鱼之乐
9楼2015-12-16 19:33:07
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uvwxmc

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8楼: Originally posted by rbysdzyga at 2015-12-16 19:13:23
谢谢你的评价，我不明白你说的“几何在数学中的分量”是什么意思，我问的问题是研究空间性质的意义是什么，我想通过了解这个意义来更好的开始学习泛函。...

意思就是几何很重要，数学的半边天。
数学的意义，很多都是‘事后悟’，听别人讲不一定有意义。事先一般是因为它是某些其他课程的先导课，或者导师让学的。
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10楼2015-12-16 19:46:31
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