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superzhuxun金虫 (小有名气)
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[求助]
大家帮我看看这个方程的求解 已有3人参与
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求大家帮我看看这个方程  2015-12-07 21_11_09-新建 Microsoft Word 文档 - Microsoft Word.jpg |
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getengqing
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2楼2015-12-08 09:15:49
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superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+10 2015-12-28 10:21:42
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4楼2015-12-08 13:52:25
peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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【答案】应助回帖
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superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+20 2015-12-28 10:22:06
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superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+20 2015-12-28 10:22:06
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用分离变量法进行求解。 令w(x,z)=X(x)*Z(z)，代入原方程并且两边同除X*Z后得到： 1/Z*dZ/dz=B/X*d^2X/dx^2+N=-β^2。 其中β为待定实数。 故: Z(z)=a'*exp(-β^2*z) X(x)=a''*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b''*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} 故： w(x,z)=exp(-β^2*z)*{a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}} 将w(±L,z)=0 代入上式并注意到exp(-β^2*z)≠0，得到： a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （1） 和 b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （2） 讨论： （一） 假设a≠0,则由（1）得到： [(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1/2)*π]^2 其中k=0，1，2，3，...... 。 代入（2）得到 b≡0 wk(x,z)=ak*exp(-β^2*z)*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} =ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} 而： w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞} =Sum{ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞} 将w(x,0)=w0(x)代入上式: w0(x)=Sum{ak*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞} 再利用三角函数的正交性，可得： ak= 2/L* Integral{w0(x)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}*dx ,0,L} (二) 假设b≠0,则由（2）得到： [(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1)*π]^2 其中k=0,1，2，3，...... 。 代入（2）得到 a≡0 wk(x,z)=bk*exp(-β^2*z)*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} =bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} 而： w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞} =Sum{bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞} 将w(x,0)=w0(x)代入上式: w0(x)=Sum{bk*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞} 再利用三角函数的正交性，可得： bk= 2/L* Integral{w0(x)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}*dx ,0,L} |
5楼2015-12-08 14:08:34
