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superzhuxun

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[求助] 大家帮我看看这个方程的求解已有3人参与

求大家帮我看看这个方程

2015-12-07 21_11_09-新建 Microsoft Word 文档 - Microsoft Word.jpg

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1楼 2015-12-07 21:12:01

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peterflyer

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peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+20 2015-12-28 10:22:06

用分离变量法进行求解。
令w(x,z)=X(x)*Z(z)，代入原方程并且两边同除X*Z后得到：
1/Z*dZ/dz=B/X*d^2X/dx^2+N=-β^2。其中β为待定实数。
故:
Z(z)=a'*exp(-β^2*z)
X(x)=a''*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b''*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
故：
w(x,z)=exp(-β^2*z)*{a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}}
将w(±L,z)=0 代入上式并注意到exp(-β^2*z)≠0，得到：
a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （1）
和
b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0 （2）
讨论：
（一）假设a≠0,则由（1）得到：
[(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1/2)*π]^2
其中k=0，1，2，3，...... 。
代入（2）得到 b≡0
wk(x,z)=ak*exp(-β^2*z)*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
=ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}
而：
w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞}
=Sum{ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞}
将w(x,0)=w0(x)代入上式:
w0(x)=Sum{ak*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞}
再利用三角函数的正交性，可得：
ak= 2/L* Integral{w0(x)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}*dx ,0,L}

(二) 假设b≠0,则由（2）得到：
[(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1)*π]^2
其中k=0,1，2，3，...... 。
代入（2）得到 a≡0
wk(x,z)=bk*exp(-β^2*z)*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
=bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}
而：
w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞}
=Sum{bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞}
将w(x,0)=w0(x)代入上式:
w0(x)=Sum{bk*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞}
再利用三角函数的正交性，可得：
bk= 2/L* Integral{w0(x)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}*dx ,0,L}