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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 大家帮我看看这个方程的求解
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superzhuxun

金虫 (小有名气)

[求助] 大家帮我看看这个方程的求解 已有3人参与

求大家帮我看看这个方程

大家帮我看看这个方程的求解
2015-12-07 21_11_09-新建 Microsoft Word 文档 - Microsoft Word.jpg
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1楼 2015-12-07 21:12:01
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getengqing

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+5 2015-12-28 10:21:25
这是偏微分方程的求解，建议先看看《偏微分方程的数值解》这一书！
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2楼2015-12-08 09:15:49
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冯卡门

金虫 (小有名气)
这是偏微分方程建议看数理方程方面的树，也可以用差分法，有限单元法和边界元法计算所有类似的平衡或者稳态方程的数值解。

发自小木虫Android客户端
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3楼2015-12-08 13:08:06
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+10 2015-12-28 10:21:42
本帖内容被屏蔽
4楼2015-12-08 13:52:25
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
superzhuxun(Edstrayer代发): 金币+20 2015-12-28 10:22:06
用分离变量法进行求解。
令w(x,z)=X(x)*Z(z)，代入原方程并且两边同除X*Z后得到：
1/Z*dZ/dz=B/X*d^2X/dx^2+N=-β^2。 其中β为待定实数。
故:
Z(z)=a'*exp(-β^2*z)
X(x)=a''*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b''*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
故：
w(x,z)=exp(-β^2*z)*{a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x} + b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}}
将w(±L,z)=0 代入上式并注意到exp(-β^2*z)≠0，得到：
a*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0                                     （1）
和
b*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*L}=0                                      （2）
讨论：
（一） 假设a≠0,则由（1）得到：
[(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1/2)*π]^2
其中k=0，1，2，3，...... 。
代入（2）得到 b≡0
wk(x,z)=ak*exp(-β^2*z)*Cos{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
=ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}
而：
w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞}
=Sum{ak*exp{-B*[(2*k+1/2)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞}
将w(x,0)=w0(x)代入上式:
w0(x)=Sum{ak*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x} , k=0~∞}
再利用三角函数的正交性，可得：
ak= 2/L* Integral{w0(x)*Cos{[(2*k+1/2)*π]/L*x}*dx ,0,L}

(二) 假设b≠0,则由（2）得到：
[(N+β^2)/B]*L^2=[(2*k+1)*π]^2
其中k=0,1，2，3，...... 。
代入（2）得到 a≡0
wk(x,z)=bk*exp(-β^2*z)*Sin{Sqrt[(N+β^2)/B]*x}
=bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}
而：
w(x,z)=Sum{wk(x,z) , k=0~∞}
=Sum{bk*exp{-B*[(2*k+1)*π/L]^2*z)*Cos{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞}
将w(x,0)=w0(x)代入上式:
w0(x)=Sum{bk*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x} , k=0~∞}
再利用三角函数的正交性，可得：
bk= 2/L* Integral{w0(x)*Sin{[(2*k+1)*π]/L*x}*dx ,0,L}
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5楼2015-12-08 14:08:34
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