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tjuxh金虫 (小有名气)
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[求助]
POD正交分解求助 已有2人参与
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| 诸位虫友，我最近在想用POD正交分解来分解一个随时间变化的压力场，想按能量分解然后看起压力模态，但是我是机械专业的，木有学过概率论，但是最近看文献发现大多数通过Karhunen-Loeve 展开来进行压力场的分析和简化的，但是不知其具体的原理，与具体的操作方法。所以向各位虫虫求助，推荐相关的学习资料，最好是那种深入浅出的，学一段时间就能上手做的，谢谢啦~~~ |
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★
tjuxh: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-01-11 09:41:47
tjuxh: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-01-11 09:41:47
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最近又有了一些新收获，跟楼主交流一下。 KL、POD、PCA思想都是一样的，最根本的应该是KL，离散化之后就是PCA（主成分分析）。和对称方阵的特征值分解以及一般矩阵的SVD（奇异值分解）关系非常密切。 1. 首先以对称方阵的特征值分解为例来说明。（特征值按从大到小排列。由于对称阵的不同特征值的特征向量正交，故可将特征向量矩阵S标准正交化。） a) 基变换角度。 AX的变换效果从几何上可理解为将X旋转(S'作用)——拉伸( 具体来说，可以定义新的列向量： 即Y的每一个分量都是X分量的线性组合，或者理解为将X沿着特征向量展开。选择前r个较大特征值对应的Y分量，就可以将原始的d维向量X降为r维向量Y。（注：A的特征向量又称作主成分，主成分分析PCA大概就是这个意思，提取最主要的那几个成分。） b) 也可以从对称矩阵的谱分解角度理解 即对称矩阵可表达为d个秩1矩阵之和，每个秩一矩阵的权重为相应特征值。数据压缩就是选择前少数几个较大特征值对应的秩一矩阵来表示原矩阵A，即 2. SVD角度。 假设数据有d个特征或属性，例如d维变量X。假设观测N次，得N个样本，用N×d矩阵A表示，将A进行SVD分解 V中所含的A的右奇异向量就是原始数据的主成分，根据奇异值大小排列，也称作第一主成分、第二主成分、……第d主成分。之所以这么叫，是因为A的右奇异向量实际上是A’A的特征向量 而A’A又可看作d维变量X的协方差矩阵cov(X, X)。如果X均值不为0，可通过平移得到新的零均值变量。令 R = cov(X, X) ，则有 这里的矩阵V相当于第1节中的矩阵S。前r个特征向量表示对X方差贡献最大的r个基，即前r个主成分。类似的，可以定义新向量Y = V'X，提取主成分，压缩数据等等。 3. 小结 1) 将观测矩阵A进行处理，比如平移使得其变为零均值、标准化处理等; 2) 对A'A进行特征值对角分解; 3) 定义新向量：Y=V'X。根据处理能力及实际需要，选择前若干个较显著的Y分量。 4. 参考资料 浅谈对主成分分析（PCA）算法的理解 http://blog.csdn.net/passball/article/details/24037593 机器学习中的数学(4)-线性判别分析（LDA）, 主成分分析(PCA) http://www.cnblogs.com/LeftNotEa ... chine-learning.html 机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用 http://www.cnblogs.com/LeftNotEa ... d-applications.html |
11楼2016-01-09 14:29:52
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3楼2015-12-02 23:17:47
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4楼2015-12-02 23:58:36
