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tjuxh

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[求助] POD正交分解求助已有2人参与

诸位虫友，我最近在想用POD正交分解来分解一个随时间变化的压力场，想按能量分解然后看起压力模态，但是我是机械专业的，木有学过概率论，但是最近看文献发现大多数通过Karhunen-Loeve 展开来进行压力场的分析和简化的，但是不知其具体的原理，与具体的操作方法。所以向各位虫虫求助，推荐相关的学习资料，最好是那种深入浅出的，学一段时间就能上手做的，谢谢啦~~~

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1楼2015-11-30 20:43:31

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mygt_hit

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
tjuxh: 金币+5, ★★★很有帮助 2016-01-11 09:41:47

引用回帖:

3楼: Originally posted by tjuxh at 2015-12-02 23:17:47
你好，非常感谢你的回答！我看了一些相关的例子，确实是按照您所说的这样进行分解。目前的情况是，我可以提取出随时间变化的一系列随机向量，然后据此可以得出一个协方差矩阵，但是我不知道如何通过此矩阵求出一组 ...

最近又有了一些新收获，跟楼主交流一下。
KL、POD、PCA思想都是一样的，最根本的应该是KL，离散化之后就是PCA（主成分分析）。和对称方阵的特征值分解以及一般矩阵的SVD（奇异值分解）关系非常密切。
1. 首先以对称方阵的特征值分解为例来说明。（特征值按从大到小排列。由于对称阵的不同特征值的特征向量正交，故可将特征向量矩阵S标准正交化。）
$A=S\varLambda S^{-1}=S\varLambda S^T$
$\varLambda =diag \left( \lambda _1,\lambda _2,\cdots ,\lambda _d \right) ,\,\,\lambda _1\geq \lambda _2\geq \cdots \geq \lambda _d$
$S=\left( s_1,s_2,\cdots ,s_d \right)$
a) 基变换角度。
AX的变换效果从几何上可理解为将X旋转(S'作用)——拉伸( $\varLambda$ 作用)——旋转回来（S作用）。因此，S中的每一个列向量可以理解为原始变量空间（实际上为A的行空间）的基通过旋转（因为S为正交阵）所得的一组新基。第一个基s1上包含的信息最多（特征值最大），之后的依次减少。所以任给一个d维列向量X，可通过在矩阵S代表的基上投影，依次提取其第一大分量、第二大分量、……直到第d大分量。根据实际需要，选择前若干个就可以充分表达X所包含的信息了，如果选择全部d个分量，那就是完全无损表示了。数据压缩、图像处理、数据降维等都是这样的原理，提取前几个较大的分量就可以以较小的损失表示原来的信息。
具体来说，可以定义新的列向量：
$Y=\left( y_1,y_2,\cdots ,y_d \right) ^T=S^TX$
$y_i=s_{i}^{T}X=s_{i1}x_1+s_{i2}x_2+\cdots +s_{id}x_d,\,\,i=1,...,d$
即Y的每一个分量都是X分量的线性组合，或者理解为将X沿着特征向量展开。选择前r个较大特征值对应的Y分量，就可以将原始的d维向量X降为r维向量Y。（注：A的特征向量又称作主成分，主成分分析PCA大概就是这个意思，提取最主要的那几个成分。）

b) 也可以从对称矩阵的谱分解角度理解
$A=\sum_{i=1}^d{s_i\lambda _is_{i}^{T}}$
即对称矩阵可表达为d个秩1矩阵之和，每个秩一矩阵的权重为相应特征值。数据压缩就是选择前少数几个较大特征值对应的秩一矩阵来表示原矩阵A，即
$A=\sum_{i=1}^d{s_i\lambda _is_{i}^{T}}\approx \sum_{i=1}^r{s_i\lambda _is_{i}^{T}},\,\,r\ll d$

2. SVD角度。
假设数据有d个特征或属性，例如d维变量X。假设观测N次，得N个样本，用N×d矩阵A表示，将A进行SVD分解
$A=U\varSigma V^T$
V中所含的A的右奇异向量就是原始数据的主成分，根据奇异值大小排列，也称作第一主成分、第二主成分、……第d主成分。之所以这么叫，是因为A的右奇异向量实际上是A’A的特征向量
$A^TA=V\varSigma ^T\varSigma V^T=V\varLambda V^T$
而A’A又可看作d维变量X的协方差矩阵cov(X, X)。如果X均值不为0，可通过平移得到新的零均值变量。令 R = cov(X, X) ，则有
$R=cov\left( X,X \right) =A^TA=V\varLambda V^T$
这里的矩阵V相当于第1节中的矩阵S。前r个特征向量表示对X方差贡献最大的r个基，即前r个主成分。类似的，可以定义新向量Y = V'X，提取主成分，压缩数据等等。

3. 小结
1) 将观测矩阵A进行处理，比如平移使得其变为零均值、标准化处理等;
2) 对A'A进行特征值对角分解;
3) 定义新向量：Y=V'X。根据处理能力及实际需要，选择前若干个较显著的Y分量。

4. 参考资料
浅谈对主成分分析（PCA）算法的理解 http://blog.csdn.net/passball/article/details/24037593
机器学习中的数学(4)-线性判别分析（LDA）, 主成分分析(PCA) http://www.cnblogs.com/LeftNotEa ... chine-learning.html
机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用 http://www.cnblogs.com/LeftNotEa ... d-applications.html

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知其然，知其所以然。

11楼2016-01-09 14:29:52

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mygt_hit

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感谢参与，应助指数 +1
tjuxh: 金币+5, ★有帮助 2015-12-06 15:08:26

KL展开就是把一个随机场分解为若干随机系数和确定性函数的线性组合，随机系数就是一些随机变量，确定性函数需要求随机场的协方差函数的特征值和特征函数，大概思路是这样。
资料我也没有合适的，网上找找吧，挺经典的方法了。

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2楼2015-12-01 12:55:10

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引用回帖:

2楼: Originally posted by mygt_hit at 2015-12-01 12:55:10
KL展开就是把一个随机场分解为若干随机系数和确定性函数的线性组合，随机系数就是一些随机变量，确定性函数需要求随机场的协方差函数的特征值和特征函数，大概思路是这样。
资料我也没有合适的，网上找找吧，挺经典 ...

你好，非常感谢你的回答！我看了一些相关的例子，确实是按照您所说的这样进行分解。目前的情况是，我可以提取出随时间变化的一系列随机向量，然后据此可以得出一个协方差矩阵，但是我不知道如何通过此矩阵求出一组正交的特征函数，并由这组正交特征函数得出相对应的随机系数，不知可否赐教~或者指明一个方法，谢谢啦~~~

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3楼2015-12-02 23:17:47

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引用回帖:

具体我也不清楚了，理论上要解一个积分方程，求出特征函数和特征值，好像有一些数值方法。

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4楼2015-12-02 23:58:36

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