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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » A矩阵是实数对称阵 B矩阵式复数对称矩阵 且都是n *n 阶 那C=A+B矩阵是否可以对角化
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zyl17yt

新虫 (初入文坛)

[求助] A矩阵是实数对称阵 B矩阵式复数对称矩阵 且都是n *n 阶 那C=A+B矩阵是否可以对角化 已有1人参与

希望给出依据  谢谢 非常感谢
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1楼 2015-11-21 13:55:21
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感谢参与，应助指数 +1
zyl17yt: 金币+60, ★★★★★最佳答案, 高大上，很务实的大神 2015-11-22 12:26:59
http://www.netlib.org/utk/people ... plates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix


A complex symmetric matrix $A$ is diagonalizable if and only if its eigenvector matrix, $Z$, can be chosen such that
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We_must_know. We_will_know.
2楼2015-11-21 14:13:20
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zyl17yt

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-21 14:13:20
http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/etemplates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix

\begin{displ ...

如果可以对角化  是不是Z的转置乘以Z 等于？  我不太懂那个符号  是image吗  是虚数矩阵吗？
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3楼2015-11-21 14:37:58
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 14:37:58
如果可以对角化  是不是Z的转置乘以Z 等于？  我不太懂那个符号  是image吗  是虚数矩阵吗？...

是 n 阶 单位阵 啊，楼主不要想太多啦
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-11-21 15:02:03
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zyl17yt

新虫 (初入文坛)
我在matlab实验了一遍   有个矩阵能对角化  但是Z的转置与Z相乘  不是单位矩阵啊
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5楼2015-11-21 15:10:13
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zyl17yt

新虫 (初入文坛)
A =

   0.0900 + 0.1000i   0.0740 + 0.0980i   0.0790 + 0.1030i   0.0580 + 0.0840i   0.0670 + 0.0870i   0.0390 + 0.0590i
   0.0740 + 0.0980i   0.0480 + 0.0900i   0.0410 + 0.0910i   0.0460 + 0.1050i   0.0498 + 0.1000i   0.0600 + 0.1180i
   0.0790 + 0.1030i   0.0410 + 0.0910i   0.0500 + 0.0890i   0.0520 + 0.1000i   0.0560 + 0.1070i   0.0610 + 0.1290i
   0.0580 + 0.0840i   0.0460 + 0.1050i   0.0520 + 0.1000i   0.0680 + 0.0920i   0.0360 + 0.0800i   0.0425 + 0.0900i
   0.0670 + 0.0870i   0.0498 + 0.1000i   0.0560 + 0.1070i   0.0360 + 0.0800i   0.0430 + 0.0910i   0.0700 + 0.1380i
   0.0390 + 0.0590i   0.0600 + 0.1180i   0.0610 + 0.1290i   0.0425 + 0.0900i   0.0700 + 0.1380i   0.0690 + 0.1080i

>> inv(A)

ans =

  11.0997 - 4.5170i  -2.0849 - 0.1170i   3.7928 - 7.3677i  -9.3757 + 4.4458i   2.7057 - 0.8654i  -4.8745 + 8.7390i
  -2.0849 - 0.1170i  57.0213 +11.3650i -50.0150 - 1.7867i  -2.3713 -16.8243i  -1.6068 + 5.7713i   1.4624 - 1.9372i
   3.7928 - 7.3677i -50.0150 - 1.7867i  31.3949 +16.5144i   7.9188 +10.5885i   8.0495 -17.8320i  -0.0039 - 0.1400i
  -9.3757 + 4.4458i  -2.3713 -16.8243i   7.9188 +10.5885i  16.0886 - 8.4343i -10.5171 + 7.5749i  -1.0691 - 0.7435i
   2.7057 - 0.8654i  -1.6068 + 5.7713i   8.0495 -17.8320i -10.5171 + 7.5749i  -4.9549 +14.4635i   5.8780 - 8.2911i
  -4.8745 + 8.7390i   1.4624 - 1.9372i  -0.0039 - 0.1400i  -1.0691 - 0.7435i   5.8780 - 8.2911i  -2.2014 + 0.4968i

>> [V,D]=eig(A)

V =

   0.3911 - 0.0721i   0.6830             0.4089 - 0.1132i  -0.4123 - 0.0719i   0.0430 - 0.0077i   0.0067 + 0.0733i
   0.4060 - 0.0040i   0.0646 + 0.0367i  -0.3558 + 0.0745i   0.0906 + 0.2503i  -0.3078 - 0.0710i   0.7466         
   0.4209 - 0.0098i  -0.0082 - 0.0278i  -0.4392 + 0.0332i  -0.1023 - 0.1160i  -0.4785 + 0.0095i  -0.5710 - 0.0310i
   0.3742 - 0.0076i   0.2514 - 0.0270i   0.0875 + 0.0300i   0.7894             0.2697 + 0.1043i  -0.1834 - 0.2227i
   0.4103 - 0.0038i  -0.2955 + 0.0045i  -0.3125 + 0.0294i  -0.3139 - 0.0830i   0.7348            -0.0199 + 0.1619i
   0.4374            -0.6000 + 0.1264i   0.6219             0.0149 - 0.0369i  -0.2126 - 0.0210i   0.0172 - 0.0053i


D =

   0.3367 + 0.5911i        0                  0                  0                  0                  0         
        0             0.0449 + 0.0556i        0                  0                  0                  0         
        0                  0            -0.0331 - 0.0598i        0                  0                  0         
        0                  0                  0             0.0244 + 0.0130i        0                  0         
        0                  0                  0                  0            -0.0157 - 0.0277i        0         
        0                  0                  0                  0                  0             0.0107 - 0.0023i

>> inv(V)*A*V

ans =

   0.3367 + 0.5911i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 - 0.0000i   0.0449 + 0.0556i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000             0.0000         
  -0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 0.0000i  -0.0331 - 0.0598i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 0.0000i   0.0244 + 0.0130i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -0.0157 - 0.0277i   0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i   0.0107 - 0.0023i

>> V'V
V'V
  |
Error: Unexpected MATLAB expression.

>> V'*V

ans =

   1.0000             0.0006 + 0.1004i   0.0144 + 0.0464i   0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
   0.0006 - 0.1004i   1.0000             0.0023 - 0.1479i   0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i   0.0139 - 0.1006i
   0.0144 - 0.0464i   0.0023 + 0.1479i   1.0000             0.0410 - 0.1290i  -0.0019 + 0.0280i  -0.0225 - 0.0596i
   0.0113 + 0.0511i   0.0147 - 0.0294i   0.0410 + 0.1290i   1.0000            -0.0351 + 0.1555i  -0.0298 - 0.5074i
  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i   1.0000            -0.0479 + 0.1560i
  -0.0078 + 0.0072i   0.0139 + 0.1006i  -0.0225 + 0.0596i  -0.0298 + 0.5074i  -0.0479 - 0.1560i   1.0000         

>> V'

ans =

   0.3911 + 0.0721i   0.4060 + 0.0040i   0.4209 + 0.0098i   0.3742 + 0.0076i   0.4103 + 0.0038i   0.4374         
   0.6830             0.0646 - 0.0367i  -0.0082 + 0.0278i   0.2514 + 0.0270i  -0.2955 - 0.0045i  -0.6000 - 0.1264i
   0.4089 + 0.1132i  -0.3558 - 0.0745i  -0.4392 - 0.0332i   0.0875 - 0.0300i  -0.3125 - 0.0294i   0.6219         
  -0.4123 + 0.0719i   0.0906 - 0.2503i  -0.1023 + 0.1160i   0.7894            -0.3139 + 0.0830i   0.0149 + 0.0369i
   0.0430 + 0.0077i  -0.3078 + 0.0710i  -0.4785 - 0.0095i   0.2697 - 0.1043i   0.7348            -0.2126 + 0.0210i
   0.0067 - 0.0733i   0.7466            -0.5710 + 0.0310i  -0.1834 + 0.2227i  -0.0199 - 0.1619i   0.0172 + 0.0053i

>> V'*V

ans =

   1.0000             0.0006 + 0.1004i   0.0144 + 0.0464i   0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
   0.0006 - 0.1004i   1.0000             0.0023 - 0.1479i   0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i   0.0139 - 0.1006i
   0.0144 - 0.0464i   0.0023 + 0.1479i   1.0000             0.0410 - 0.1290i  -0.0019 + 0.0280i  -0.0225 - 0.0596i
   0.0113 + 0.0511i   0.0147 - 0.0294i   0.0410 + 0.1290i   1.0000            -0.0351 + 0.1555i  -0.0298 - 0.5074i
  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i   1.0000            -0.0479 + 0.1560i
  -0.0078 + 0.0072i   0.0139 + 0.1006i  -0.0225 + 0.0596i  -0.0298 + 0.5074i  -0.0479 - 0.1560i   1.0000
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6楼2015-11-21 15:10:48
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 15:10:48
A =

   0.0900 + 0.1000i   0.0740 + 0.0980i   0.0790 + 0.1030i   0.0580 + 0.0840i   0.0670 + 0.0870i   0.0390 + 0.0590i
   0.0740 + 0.0980i   0.0480 + 0.0900i   0.0410 + 0.0910i   0.0460 + 0.1050i ...

我用mathematica 看了一下你的例子，你的结论没错， 我觉得很困惑。 你可以自己验证，那些特征向量点乘是正交的 (正交按, 而不是按来定义)

我没有找到定理在书或文献中的证明， 就自己写了一个，不完全，你看看是否靠谱

按上面非常规定义的正交(x,y). 如果u,v 是对称复矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量，
那么 0=(u,Av)-(Au,v)推出(u,v)=0. 这你也可以从你的例子里直接验证。也就是说， 如果对称矩阵A有n个互不相等的特征值, 我们应该可以看到 为对角阵， 虽然软件告诉我们不是这样的(非常困惑）.

进一步， (如果）每一个(v,v)都非零， 那么将v归一化成, 可以使得Z^TZ=Id.


引理：如果A是复对称矩阵，不可以对角化，那么一定存在特征向量v,满足

引理的证明：

如果A的某个Jordan块维度=k>1(即不可以对角化), 那么存在对应于这个Jordan块的一组基v1,v2=(A-lambda)v1, v3=(A-lambda)^2 v1,..., vk=(A-lambda)^{k-1} v1， 满足 (A-lambda)vk=0.

即 vk 是唯一 的A的对应于lambda的在这个不变子空间中的特征向量。 现在让v=vk, 则
, 此即

我无法证明的是， 如果对称矩阵A有n个不同的特征值，那么每个特征向量都满足 (z,z)不等于0.
A矩阵是实数对称阵  B矩阵式复数对称矩阵 且都是n *n 阶 那C=A+B矩阵是否可以对角化
sym complex matrix.png
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7楼2015-11-22 08:18:12
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