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zyl17yt

新虫 (初入文坛)

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[求助] A矩阵是实数对称阵 B矩阵式复数对称矩阵且都是n *n 阶那C=A+B矩阵是否可以对角化已有1人参与

希望给出依据谢谢非常感谢

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1楼 2015-11-21 13:55:21

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感谢参与，应助指数 +1
zyl17yt: 金币+60, ★★★★★最佳答案, 高大上，很务实的大神 2015-11-22 12:26:59

http://www.netlib.org/utk/people ... plates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix
$<br /> \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{cc} 2^ {\tt i} & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right],\quad \mbox{where}\quad \mathbb{\tt i}= \sqrt{-1}. \end{displaymath}<br />$

A complex symmetric matrix $A$ is diagonalizable if and only if its eigenvector matrix, $Z$, can be chosen such that
$<br /> \begin{displaymath} Z^T A Z = \Lambda = {\mathop{\rm diag}\nolimits}\left(\lambd... ...da_2,\ldots,\lambda_n\right)\quad \mbox{and}\quad Z^T Z = I_n. \end{displaymath}<br />$

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2楼2015-11-21 14:13:20

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zyl17yt

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-11-21 14:13:20
http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/etemplates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix

\begin{displ ...

如果可以对角化是不是Z的转置乘以Z 等于？我不太懂那个符号是image吗是虚数矩阵吗？

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3楼2015-11-21 14:37:58

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hank612

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3楼: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 14:37:58
如果可以对角化是不是Z的转置乘以Z 等于？我不太懂那个符号是image吗是虚数矩阵吗？...

是 n 阶单位阵啊，楼主不要想太多啦

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4楼2015-11-21 15:02:03

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我在matlab实验了一遍有个矩阵能对角化但是Z的转置与Z相乘不是单位矩阵啊

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5楼2015-11-21 15:10:13

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A =

0.0900 + 0.1000i 0.0740 + 0.0980i 0.0790 + 0.1030i 0.0580 + 0.0840i 0.0670 + 0.0870i 0.0390 + 0.0590i
0.0740 + 0.0980i 0.0480 + 0.0900i 0.0410 + 0.0910i 0.0460 + 0.1050i 0.0498 + 0.1000i 0.0600 + 0.1180i
0.0790 + 0.1030i 0.0410 + 0.0910i 0.0500 + 0.0890i 0.0520 + 0.1000i 0.0560 + 0.1070i 0.0610 + 0.1290i
0.0580 + 0.0840i 0.0460 + 0.1050i 0.0520 + 0.1000i 0.0680 + 0.0920i 0.0360 + 0.0800i 0.0425 + 0.0900i
0.0670 + 0.0870i 0.0498 + 0.1000i 0.0560 + 0.1070i 0.0360 + 0.0800i 0.0430 + 0.0910i 0.0700 + 0.1380i
0.0390 + 0.0590i 0.0600 + 0.1180i 0.0610 + 0.1290i 0.0425 + 0.0900i 0.0700 + 0.1380i 0.0690 + 0.1080i

>> inv(A)

ans =

  11.0997 - 4.5170i  -2.0849 - 0.1170i 3.7928 - 7.3677i  -9.3757 + 4.4458i 2.7057 - 0.8654i  -4.8745 + 8.7390i
  -2.0849 - 0.1170i  57.0213 +11.3650i -50.0150 - 1.7867i  -2.3713 -16.8243i  -1.6068 + 5.7713i 1.4624 - 1.9372i
3.7928 - 7.3677i -50.0150 - 1.7867i  31.3949 +16.5144i 7.9188 +10.5885i 8.0495 -17.8320i  -0.0039 - 0.1400i
  -9.3757 + 4.4458i  -2.3713 -16.8243i 7.9188 +10.5885i  16.0886 - 8.4343i -10.5171 + 7.5749i  -1.0691 - 0.7435i
2.7057 - 0.8654i  -1.6068 + 5.7713i 8.0495 -17.8320i -10.5171 + 7.5749i  -4.9549 +14.4635i 5.8780 - 8.2911i
  -4.8745 + 8.7390i 1.4624 - 1.9372i  -0.0039 - 0.1400i  -1.0691 - 0.7435i 5.8780 - 8.2911i  -2.2014 + 0.4968i

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.3911 - 0.0721i 0.6830          0.4089 - 0.1132i  -0.4123 - 0.0719i 0.0430 - 0.0077i 0.0067 + 0.0733i
0.4060 - 0.0040i 0.0646 + 0.0367i  -0.3558 + 0.0745i 0.0906 + 0.2503i  -0.3078 - 0.0710i 0.7466
0.4209 - 0.0098i  -0.0082 - 0.0278i  -0.4392 + 0.0332i  -0.1023 - 0.1160i  -0.4785 + 0.0095i  -0.5710 - 0.0310i
0.3742 - 0.0076i 0.2514 - 0.0270i 0.0875 + 0.0300i 0.7894          0.2697 + 0.1043i  -0.1834 - 0.2227i
0.4103 - 0.0038i  -0.2955 + 0.0045i  -0.3125 + 0.0294i  -0.3139 - 0.0830i 0.7348          -0.0199 + 0.1619i
0.4374          -0.6000 + 0.1264i 0.6219          0.0149 - 0.0369i  -0.2126 - 0.0210i 0.0172 - 0.0053i

D =

0.3367 + 0.5911i       0                0                0                0                0
      0          0.0449 + 0.0556i       0                0                0                0
      0                0          -0.0331 - 0.0598i       0                0                0
      0                0                0          0.0244 + 0.0130i       0                0
      0                0                0                0          -0.0157 - 0.0277i       0
      0                0                0                0                0          0.0107 - 0.0023i

>> inv(V)*A*V

ans =

0.3367 + 0.5911i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 - 0.0000i 0.0449 + 0.0556i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000          0.0000
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  -0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i  -0.0157 - 0.0277i 0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i 0.0107 - 0.0023i

>> V'V
V'V
  |
Error: Unexpected MATLAB expression.

>> V'*V

ans =

1.0000          0.0006 + 0.1004i 0.0144 + 0.0464i 0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
0.0006 - 0.1004i 1.0000          0.0023 - 0.1479i 0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i 0.0139 - 0.1006i
0.0144 - 0.0464i 0.0023 + 0.1479i 1.0000          0.0410 - 0.1290i  -0.0019 + 0.0280i  -0.0225 - 0.0596i
0.0113 + 0.0511i 0.0147 - 0.0294i 0.0410 + 0.1290i 1.0000          -0.0351 + 0.1555i  -0.0298 - 0.5074i
  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i 1.0000          -0.0479 + 0.1560i
  -0.0078 + 0.0072i 0.0139 + 0.1006i  -0.0225 + 0.0596i  -0.0298 + 0.5074i  -0.0479 - 0.1560i 1.0000

>> V'

ans =

0.3911 + 0.0721i 0.4060 + 0.0040i 0.4209 + 0.0098i 0.3742 + 0.0076i 0.4103 + 0.0038i 0.4374
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0.0430 + 0.0077i  -0.3078 + 0.0710i  -0.4785 - 0.0095i 0.2697 - 0.1043i 0.7348          -0.2126 + 0.0210i
0.0067 - 0.0733i 0.7466          -0.5710 + 0.0310i  -0.1834 + 0.2227i  -0.0199 - 0.1619i 0.0172 + 0.0053i

>> V'*V

ans =

1.0000          0.0006 + 0.1004i 0.0144 + 0.0464i 0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
0.0006 - 0.1004i 1.0000          0.0023 - 0.1479i 0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i 0.0139 - 0.1006i
0.0144 - 0.0464i 0.0023 + 0.1479i 1.0000          0.0410 - 0.1290i  -0.0019 + 0.0280i  -0.0225 - 0.0596i
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  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i 1.0000          -0.0479 + 0.1560i
  -0.0078 + 0.0072i 0.0139 + 0.1006i  -0.0225 + 0.0596i  -0.0298 + 0.5074i  -0.0479 - 0.1560i 1.0000

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6楼2015-11-21 15:10:48

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引用回帖:

6楼: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 15:10:48
A =

0.0900 + 0.1000i 0.0740 + 0.0980i 0.0790 + 0.1030i 0.0580 + 0.0840i 0.0670 + 0.0870i 0.0390 + 0.0590i
0.0740 + 0.0980i 0.0480 + 0.0900i 0.0410 + 0.0910i 0.0460 + 0.1050i ...

我用mathematica 看了一下你的例子，你的结论没错，我觉得很困惑。你可以自己验证，那些特征向量点乘是正交的 (正交按 $(x,y):=x^Ty=\sum_{k=1}^n x_ky_k$ , 而不是按 $<x,y>:=\sum_{k=1}^n \bar{x_k}y_k$ 来定义)

我没有找到定理在书或文献中的证明，就自己写了一个，不完全，你看看是否靠谱

按上面非常规定义的正交(x,y). 如果u,v 是对称复矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量，
那么 0=(u,Av)-(Au,v)推出(u,v)=0. 这你也可以从你的例子里直接验证。也就是说，如果对称矩阵A有n个互不相等的特征值, 我们应该可以看到 $Z^TZ$ 为对角阵，虽然软件告诉我们不是这样的(非常困惑）.

进一步， (如果）每一个(v,v)都非零，那么将v归一化成 $\frac{v}{\sqrt{(v,v)}}$ , 可以使得Z^TZ=Id.

引理：如果A是复对称矩阵，不可以对角化，那么一定存在特征向量v,满足 $v^Tv=0$

引理的证明：

如果A的某个Jordan块维度=k>1(即不可以对角化), 那么存在对应于这个Jordan块的一组基v1,v2=(A-lambda)v1, v3=(A-lambda)^2 v1,..., vk=(A-lambda)^{k-1} v1，满足 (A-lambda)vk=0.

即 vk 是唯一的A的对应于lambda的在这个不变子空间中的特征向量。现在让v=vk, 则
$(v,v)=((A-\lambda)^{k-1}v_1,(A-\lambda)^{k-1}v_1)=(v_1,(A-\lambda)^{2(k-1)}v_1)=0$ , 此即 $v^Tv=0$

我无法证明的是，如果对称矩阵A有n个不同的特征值，那么每个特征向量都满足 (z,z)不等于0.

A矩阵是实数对称阵 B矩阵式复数对称矩阵且都是n *n 阶那C=A+B矩阵是否可以对角化

sym complex matrix.png

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7楼2015-11-22 08:18:12

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zyl17yt

[求助] A矩阵是实数对称阵 B矩阵式复数对称矩阵 且都是n *n 阶 那C=A+B矩阵是否可以对角化 已有1人参与

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hank612

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zyl17yt

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