关于无理数的稠密性的一个问题 - 数学 - 考博考研

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Edstrayer

版主 (著名写手)

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关于无理数的稠密性的一个问题: 领取红包 (小木虫手机app专属红包)

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例1(1117) 设 $\mathbb{Q}$ 表示有理数的集合， $\mathbb{R}$ 表示实数的集合，试证：

$\overline{\mathbb{Q}^c}=\mathbb{R}$

PS:本题若用 $\LaTeX$ 编辑数学公式，额外奖励2----10金币。

20151026090704.jpg

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1楼 2015-11-17 23:08:00

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+8, rs 2015-11-18 11:00:33

我们可以分三步来证明.

(1) 存在至少一个无理数, 记为 a. (这是个非平凡的结果, 在科学史上,第一个发现无理数的人为此牺牲了生命)

(2) 证明序列 $\{\frac{a}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是个无理数序列, 并且极限为0.

(3) 对于任意一个有理数q, 证明 $\{q+\frac{a}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是个无理数序列, 并且极限为q.

既然每个有理数都在无理数的闭包内, 无理数加上无理数的极限点就把所有的实数一网打尽了.

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34楼2015-11-18 03:30:26

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0404600213

金虫 (正式写手)

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★ ★ ★
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Edstrayer: 金币+2, rs 2015-11-17 23:30:02

任取r属于R
若r是无理数
则取a(n)=[(n+1)/n]*r
若r是非零有理数
则取a(n)=sqrt[(n+1)/n]*r
若r=0
则去a(n)=sqrt[1/(n^2+1)]

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2楼2015-11-17 23:26:12

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说啥事服

新虫 (小有名气)

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在线: 9.5小时
虫号: 4197281

★
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我们可以去这个无理数的俩边的俩点，做二等分，再用新的两边的点不断的做这种逼近，那么对于任意给定的n，这逼近列是有理的，这样就做到了一列数逼近。（注意一列数的性质有时与极限性质不同，如此例。）

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11楼2015-11-17 23:38:10

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说啥事服3楼

2015-11-17 23:27 回复

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瑶涛5204034楼

2015-11-17 23:27 回复

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yanyuxiaoxi5楼

2015-11-17 23:30 回复

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8061272176楼

2015-11-17 23:30 回复

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xprobe27楼

2015-11-17 23:30 回复

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doolxx8楼

2015-11-17 23:30 回复

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李飞是梅子9楼

2015-11-17 23:34 回复

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岳永双10楼

2015-11-17 23:36 回复

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查理兔子12楼

2015-11-17 23:40 回复

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laoma31413楼

2015-11-17 23:45 回复

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白雪飞扬14楼

2015-11-17 23:51 回复

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