关于无理数的稠密性的一个问题 - 数学 - 考博考研

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Edstrayer

版主 (著名写手)

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例1(1117) 设 $\mathbb{Q}$ 表示有理数的集合， $\mathbb{R}$ 表示实数的集合，试证：

$\overline{\mathbb{Q}^c}=\mathbb{R}$

PS:本题若用 $\LaTeX$ 编辑数学公式，额外奖励2----10金币。

20151026090704.jpg

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1楼2015-11-17 23:08:00

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+8, rs 2015-11-18 11:00:33

我们可以分三步来证明.

(1) 存在至少一个无理数, 记为 a. (这是个非平凡的结果, 在科学史上,第一个发现无理数的人为此牺牲了生命)

(2) 证明序列 $\{\frac{a}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是个无理数序列, 并且极限为0.

(3) 对于任意一个有理数q, 证明 $\{q+\frac{a}{n}\}_{n=1}^{\infty}$ 是个无理数序列, 并且极限为q.

既然每个有理数都在无理数的闭包内, 无理数加上无理数的极限点就把所有的实数一网打尽了.