版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

nikle2000

木虫 (小有名气)

应助: 3 (幼儿园)
金币: 2791.6
帖子: 263
在线: 72.8小时
虫号: 9721
注册: 2003-05-05
性别: GG
专业: 概率论与随机分析

[求助] 不等式的证明已有1人参与

如题，给出推导过程！谢谢！
$<br /> $\int_0^\infty(y^2+a^a)^{-\gamma/2}\exp(-y^p)dy\simeq c_1(\gamma)a^{-\gamma+1}+c_2(\gamma)$, for $0<\gamma<1, p>0$, where $c_1(\gamma)$ and $c_2(\gamma)$ are positive constants depending only on $\gamma, A\simeq B$ means that there is a constant $c>0$ such that $1/c\leq A/B\leq c.$ <br />$

a.JPG

回复此楼

» 猜你喜欢

1楼 2015-10-15 22:53:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
nikle2000: 金币+5 2015-10-26 15:11:34

假设存在常数C>1以及函数 $C_1(\gamma), C_2(\gamma)$ 使得:
$\frac{1}{C}(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))<\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy<C(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))$ , 我们来推出矛盾.

由于 $0<\gamma<1$ ,当P>0趋于0时, $\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy$ 被积函数大约是 $y^{-\gamma}$ , 积分是发散的. 可是右端是和P无关的函数, 肯定做不到界住积分的.

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

2楼2015-10-24 08:31:08

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

nikle2000

木虫 (小有名气)

应助: 3 (幼儿园)
金币: 2791.6
帖子: 263
在线: 72.8小时
虫号: 9721
注册: 2003-05-05
性别: GG
专业: 概率论与随机分析

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-10-24 08:31:08
假设存在常数C>1以及函数C_1(\gamma), C_2(\gamma)使得:
\frac{1}{C}(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_2(\gamma))<\int_{0}^{\infty}(y^2+a^2)^{-\frac{\gamma}{2}}\exp(-y^p)dy<C(C_1(\gamma)a^{1-\gamma}+C_ ...

这里的p是固定的常数，只要大于0。

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

3楼2015-10-24 13:25:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 75
红花: 3
帖子: 38
在线: 10.1小时
虫号: 4117024
注册: 2015-10-03

$y = a \cdot t$ , 可以得到上界的估计。可是，下界就不好估计了，主要的困难来自 $a \to +\infty$ 的时候。

赞一下

回复此楼

4楼2015-10-24 23:45:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 75
红花: 3
帖子: 38
在线: 10.1小时
虫号: 4117024
注册: 2015-10-03

清空。楼下重发。
-------editted by feixiaolin

赞一下

回复此楼

5楼2015-10-25 12:26:44

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 75
红花: 3
帖子: 38
在线: 10.1小时
虫号: 4117024
注册: 2015-10-03

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 应助指数+1 2015-10-25 14:38:05
nikle2000: 金币+10 2015-10-26 15:11:53

抱歉，说得不对。我修改如下：
首先，令 $y = at$ , 则原积分化为
$I = a^{-\gamma + 1} \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p t^p} dt$ .
对于右端的积分，我们有
$J = \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p t^p} dt \overset{u = t^p}{=} \frac{1}{p} \int_0^{+\infty} \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{p}}} \left(u^{\frac{2}{p}} + 1\right)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p u} du$ .
对于 $u \geq 1$ , 函数 $\frac{1}{u^{1 - \frac{1}{p}}} \left(u^{\frac{2}{p}} + 1\right)^{-\frac{\gamma}{2}}$ 相当于 $u^{1 - \frac{1}{p}(1 - \gamma)}$ , 而 $1 - \frac{1}{p}(1 - \gamma) < 1$ , 于是
$J \geq C \int_1^{\infty} \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{p}(1 - \gamma)}} \cdot e^{- a^p u} du \to +\infty, \ {\rm as} \ a \to 0.$
所以 $I \leq C(c_2(\gamma) a^{1 - \gamma} + c_3(\gamma))$ 并不成立。此外，
$J = \frac{1}{p} \int_0^{+\infty} \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{p}}} \left(u^{\frac{2}{p}} + 1\right)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p u} du \leq \frac{1}{p} \int_0^{+\infty} \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{p}}} e^{- a^p u} du = \frac{1}{pa} \Gamma\left( \frac{1}{p} \right) \to 0, \ {\rm as} \ a \to +\infty$ .
这说明了 $I \geq C(c_2(\gamma) a^{1 - \gamma} + c_3(\gamma))$ 不成立。

赞一下(2人)

回复此楼

6楼2015-10-25 12:30:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

nikle2000

木虫 (小有名气)

应助: 3 (幼儿园)
金币: 2791.6
帖子: 263
在线: 72.8小时
虫号: 9721
注册: 2003-05-05
性别: GG
专业: 概率论与随机分析

引用回帖:

6楼: Originally posted by 阿行 at 2015-10-25 12:30:30
抱歉，说得不对。我修改如下：
首先，令y = at, 则原积分化为
I = a^{-\gamma + 1} \int_0^{+\infty} (t^2 + 1)^{-\frac{\gamma}{2}} e^{- a^p t^p} dt.
对于右端的积分，我们有
J = \int_0^{+\infty} (t^2 + 1 ...

上界的推导是错的，因为极限号要和积分号交换顺序是有条件的---积分必须是一致可积的！

下界是针对I 的，所以后面应该是I=a^(-\gamma+1)J->\infty(a->0).显然不起作用！

赞一下

回复此楼

7楼2015-10-26 15:22:01

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
nikle2000(feixiaolin代发): 金币+20 2015-11-08 16:55:03

引用回帖:

7楼: Originally posted by nikle2000 at 2015-10-26 15:22:01
上界的推导是错的，因为极限号要和积分号交换顺序是有条件的---积分必须是一致可积的！

下界是针对I 的，所以后面应该是I=a^(-\gamma+1)J->\infty(a->0).显然不起作用！...

楼主可能误会阿行的意思了

$I=a^{1-\gamma}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a^pt^p}}{{\sqrt{t^2+1}}^\gamma}dt<a^{1-\gamma}\int_{0}^{\infty}e^{-a^pt^p}dt=a^{-\gamma}\cdot\frac{\Gamma(1/p)}{p}$

由于当a趋于正无穷时， $a^{-\gamma}=o(c_1(\gamma)a^{1-\gamma}+c_2(\gamma))$ , 所以阿行才觉得楼主的命题可能不够严谨。

赞一下(1人)

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

8楼2015-10-26 19:30:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 75
红花: 3
帖子: 38
在线: 10.1小时
虫号: 4117024
注册: 2015-10-03

引用回帖:

8楼: Originally posted by hank612 at 2015-10-26 19:30:40
楼主可能误会阿行的意思了

I=a^{1-\gamma}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a^pt^p}}{{\sqrt{t^2+1}}^\gamma}dt<a^{1-\gamma}\int_{0}^{\infty}e^{-a^pt^p}dt=a^{-\gamma}\cdot\frac{\Gamma(1/p)}{p}

由于当a趋 ...

hank612谢谢你的帮忙解释。

赞一下

回复此楼

9楼2015-10-29 16:05:21

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

阿行

新虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 75
红花: 3
帖子: 38
在线: 10.1小时
虫号: 4117024
注册: 2015-10-03

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
nikle2000(feixiaolin代发): 金币+50 2015-11-08 16:54:49

引用回帖:

设 $\int_1^{\infty} \frac{1}{u^b} du = + \infty$ , 于是 $\forall E > 0[latex], 存在[latex] A > 1$ ，使得 $\int_1^A \frac{1}{u^b} du > E$ . 而当 $a$ 充分小时， $e^{- a^p u} > \frac{1}{2} \ (1 \leq u \leq A)$ 。所以 $\int_1^{\infty} \frac{1}{u^b} \cdot e^{- a^p u}du > \frac{1}{2} E$ .

赞一下

回复此楼

10楼2015-10-29 16:13:54

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 nikle2000 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 求调剂院校信息 +4	CX 330 2026-03-21	4/200	2026-03-21 23:48 by ms629
[考研] 0703化学调剂 +11	妮妮ninicgb 2026-03-15	15/750	2026-03-21 19:15 by ColorlessPI
[考研] 277材料科学与工程080500求调剂 +6	自由煎饼果子 2026-03-16	6/300	2026-03-21 17:21 by 学员8dgXkO
[考研] 279分求调剂一志愿211 +14	chaojifeixia 2026-03-19	15/750	2026-03-21 13:24 by zhukairuo
[考研] 085601调剂 358分 +3	zzzzggh 2026-03-20	4/200	2026-03-21 10:21 by luoyongfeng
[考研] 306求调剂 +4	chuanzhu川烛 2026-03-18	4/200	2026-03-21 08:25 by laoshidan
[考研] 346求调剂[0856] +4	WayneLim327 2026-03-16	7/350	2026-03-21 04:02 by JourneyLucky
[考研] 求调剂 +3	Ma_xt 2026-03-17	3/150	2026-03-21 02:05 by JourneyLucky
[考研] 北科281学硕材料求调剂 +5	tcxiaoxx 2026-03-20	5/250	2026-03-20 21:35 by laoshidan
[考研] 295复试调剂 +8	简木ChuFront 2026-03-19	8/400	2026-03-20 20:44 by zhukairuo
[考研] 260求调剂 +3	朱芷琳 2026-03-20	3/150	2026-03-20 20:35 by 学员8dgXkO
[考研] 环境工程调剂 +9	大可digkids 2026-03-16	9/450	2026-03-20 17:38 by 醉在风里
[考研] 085410人工智能专硕317求调剂（0854都可以） +4	xbxudjdn 2026-03-18	4/200	2026-03-20 09:07 by 不168
[考研] 0703化学调剂 +4	18889395102 2026-03-18	4/200	2026-03-19 16:13 by 30660438
[考研] 328求调剂，英语六级551，有科研经历 +4	生物工程调剂 2026-03-16	12/600	2026-03-19 11:10 by 生物工程调剂
[考研] 材料工程专硕调剂 +5	204818@lcx 2026-03-17	6/300	2026-03-18 22:55 by 204818@lcx
[考研] 312求调剂 +8	陌宸希 2026-03-16	9/450	2026-03-18 12:39 by Linda Hu
[考研] 生物学071000 329分求调剂 +3	我爱生物生物爱� 2026-03-17	3/150	2026-03-18 10:12 by macy2011
[考研] 一志愿苏州大学材料工程（085601）专硕有科研经历三项国奖两个实用型专利一项省级立项 +6	大火山小火山 2026-03-16	8/400	2026-03-17 15:05 by 无懈可击111
[考研] 考研调剂 +3	淇ya_~ 2026-03-17	5/250	2026-03-17 09:25 by Winj1e

24小时热门版块排行榜

[求助] 不等式的证明 已有1人参与

» 猜你喜欢

【答案】应助回帖

【答案】应助回帖

[求助] 不等式的证明已有1人参与