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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 函数单调性的证明
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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 函数单调性的证明已有1人参与

f(x)=ln(cos(x))/ln(sin(x)/x),证明f(x)在(0,Pi/2)递增。谢谢！
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1楼2015-09-11 01:54:33
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-09-11 08:46:40
求导就可以解决。

原来真的是求导就可以解决了，不过要求的次数也太多，计算量也太大了。。。
函数单调性的证明
单调性证明.png
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5楼2016-03-23 22:49:23
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shenyxtata

金虫 (正式写手)
求导为什么不行？

发自小木虫Android客户端
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2楼2015-09-11 06:55:26
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
求导就可以解决。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2015-09-11 08:46:40
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 谢谢你，我回去再看看。 2015-09-11 19:55:24
f'(x)={x*(Sinx)^2*ln[x/Sinx]+Cosx*ln(1/Cosx)*[x*Cosx-Sinx]}/{1/2*x*Sin(2*x)*[lnsinx-lnx)]^2}
当x∈[0,π/2]时，分母是大于零的，分子中的前一项也是大于零的，分子中的后一项的Cosx*ln(1/Cosx)因子也是大于零的，关键是分子的后一项中的x*Cosx-Sinx因子总是小于零的，并且是单调下降的。因此，如果在x=π/2时f '(x)仍大于零，说明在x∈[0,π/2]时f '(x)一直是大于零的。问题就得以证明。
实际上，f '(π/2)=π/2*ln(π/2)>0 。
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4楼2015-09-11 10:36:02
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