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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็

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[交流] 一个看起来简单的不太容易的定积分问题已有9人参与

求如下定积分的解析形式，希望解析形式中不出现变量，即结果只是常量的函数形式。
比如，椭圆积分表达不符合要求。

$\int_{0}^{1}\!{\frac{x\sin\left(x\right)}{\sqrt{{x}^{5}+1}}}\,{\rm{}d}x$

此外：可积性是显然的：

$\int_0^1{\dfrac{x\sin{x}}{\sqrt{x^5+1}}\rm{d}x$

[ Last edited by cooooldog on 2017-7-15 at 18:34 ]

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

1楼 2015-08-24 08:40:01

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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

仅仅是我的个人愚见：
（1）楼主如果仅仅是做求数值解，从你的回帖跟擅长方向来看，这是完全不难的事儿；
（2）楼主是有意而为之，可以把这个问题换种问法，能不能用一些研究过的函数（包括特殊函数）的代数运算组合去表示这个积分；
（3）根据10楼层主的Matlab Code看出，似乎是Gamma Function跟Superhyperbolic function的组合可以表示出这个积分，这些函数都是属于Fuchs型ODE的解的特殊函数表达式，可以尝试将这个积分变成某一ODE的解，就可以得到如何用特殊函数去表示了。
然而能力有限，目前只能说出大致想法，具体如何构造还没清楚，实在抱歉，楼主。