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q:1306140890

木虫 (正式写手)

[求助] 请教关于数学归纳法的几个问题 已有2人参与

a,b,c均为自然数,证明(a+b)+c=a+(b+c)
用数学归纳法来证明,
1.a,b,c都是变量,应该对谁进行归纳呢?
2.任意固定两个量,对第三个进行归纳都是可行,但这样就都能证明命题正确吗?
3.这三个变量并不完全对称的(像m+n=n+m),如果问题2是可行的,那其逻辑依据是什么呢?为什么不用考虑其他两个变量的影响呢?
相同的例子还有:
a×(b+c)=a×b+a×c这命题中a与b,c明显是不对称的,那么分别对a和b进行归纳(固定b,c对a进行归纳和固定a,c对b进行归纳)都能证明命题正确吗?如果能,那逻辑依据在哪儿呢?如果不能,那该如何证明这个命题呢?
恳请赐教,谢谢!

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好之者不如乐之者
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jianliu67

木虫 (小有名气)

为什么非要用数学归纳法呢?
2楼2015-08-05 09:36:37
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q:1306140890

木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by jianliu67 at 2015-08-05 09:36:37
为什么非要用数学归纳法呢?

因为要用peano公理建立自然数体系

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好之者不如乐之者
3楼2015-08-05 11:27:49
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
固定两个变一个,然后起始步骤再用归纳法

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4楼2015-08-05 12:01:55
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q:1306140890

木虫 (正式写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 12:01:55
固定两个变一个,然后起始步骤再用归纳法

我一开始也是这样想的,但对a(b+c)=ab+ac这一命题的证明,书上只对c进行了归纳,没有再对a进行归纳。

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好之者不如乐之者
5楼2015-08-05 12:45:49
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 12:45:49
我一开始也是这样想的,但对a(b+c)=ab+ac这一命题的证明,书上只对c进行了归纳,没有再对a进行归纳。
...

不一定非要归纳好几次,没错就行

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6楼2015-08-05 13:08:14
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q:1306140890

木虫 (正式写手)

引用回帖:
6楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 13:08:14
不一定非要归纳好几次,没错就行
...

对于 a(b+c) =ab+ac这个命题来说,只对c进行归纳,只能说明c对于所以的自然数命题都成立,并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?

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好之者不如乐之者
7楼2015-08-05 14:24:09
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 14:24:09
对于 a(b+c) =ab+ac这个命题来说,只对c进行归纳,只能说明c对于所以的自然数命题都成立,并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?
...

麻烦您,是所有,还是所以

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8楼2015-08-05 14:41:35
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 14:24:09
对于 a(b+c) =ab+ac这个命题来说,只对c进行归纳,只能说明c对于所以的自然数命题都成立,并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?
...

c对于哪个命题是对的,用表达式写出来

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9楼2015-08-05 14:49:14
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q:1306140890

木虫 (正式写手)

引用回帖:
9楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 14:49:14
c对于哪个命题是对的,用表达式写出来
...

不好意思,是“所有”。
命题就是乘法分配率,表达式:a(b+c) =ab+ac,a,b,c均为自然数。
我想说的是,要证明a(b+c) =ab+ac这个命题成立,如果固定a,b,只对c进行归纳并且过程无误,这只能说明c取任意的自然数都能使上述命题成立。没有说明a取任意自然数时也能使上述命题成立。

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好之者不如乐之者
10楼2015-08-05 16:03:12
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