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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教关于数学归纳法的几个问题
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q:1306140890

木虫 (正式写手)

[求助] 请教关于数学归纳法的几个问题 已有2人参与

a,b,c均为自然数，证明(a+b)+c=a+(b+c)
用数学归纳法来证明，
1.a，b，c都是变量，应该对谁进行归纳呢？
2.任意固定两个量，对第三个进行归纳都是可行，但这样就都能证明命题正确吗？
3.这三个变量并不完全对称的（像m+n=n+m）,如果问题2是可行的，那其逻辑依据是什么呢？为什么不用考虑其他两个变量的影响呢？
相同的例子还有：
a×（b+c）=a×b+a×c这命题中a与b,c明显是不对称的，那么分别对a和b进行归纳（固定b，c对a进行归纳和固定a，c对b进行归纳）都能证明命题正确吗？如果能，那逻辑依据在哪儿呢？如果不能，那该如何证明这个命题呢？
恳请赐教，谢谢！

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好之者不如乐之者
1楼 2015-08-05 07:19:23
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jianliu67

木虫 (小有名气)
为什么非要用数学归纳法呢?
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2楼2015-08-05 09:36:37
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q:1306140890

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jianliu67 at 2015-08-05 09:36:37
为什么非要用数学归纳法呢?

因为要用peano公理建立自然数体系

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好之者不如乐之者
3楼2015-08-05 11:27:49
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
固定两个变一个，然后起始步骤再用归纳法

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4楼2015-08-05 12:01:55
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q:1306140890

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 12:01:55
固定两个变一个，然后起始步骤再用归纳法

我一开始也是这样想的，但对a（b+c）=ab+ac这一命题的证明，书上只对c进行了归纳，没有再对a进行归纳。

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好之者不如乐之者
5楼2015-08-05 12:45:49
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 12:45:49
我一开始也是这样想的，但对a（b+c）=ab+ac这一命题的证明，书上只对c进行了归纳，没有再对a进行归纳。
...

不一定非要归纳好几次，没错就行

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6楼2015-08-05 13:08:14
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q:1306140890

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 13:08:14
不一定非要归纳好几次，没错就行
...

对于 a（b+c） =ab+ac这个命题来说，只对c进行归纳，只能说明c对于所以的自然数命题都成立，并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?

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好之者不如乐之者
7楼2015-08-05 14:24:09
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 14:24:09
对于 a（b+c） =ab+ac这个命题来说，只对c进行归纳，只能说明c对于所以的自然数命题都成立，并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?
...

麻烦您，是所有，还是所以

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8楼2015-08-05 14:41:35
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shuxue0

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by q:1306140890 at 2015-08-05 14:24:09
对于 a（b+c） =ab+ac这个命题来说，只对c进行归纳，只能说明c对于所以的自然数命题都成立，并没有说明a对于所以的自然数都能使命题成立啊?
...

c对于哪个命题是对的，用表达式写出来

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9楼2015-08-05 14:49:14
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q:1306140890

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by shuxue0 at 2015-08-05 14:49:14
c对于哪个命题是对的，用表达式写出来
...

不好意思，是“所有”。
命题就是乘法分配率，表达式：a（b+c） =ab+ac，a，b，c均为自然数。
我想说的是，要证明a（b+c） =ab+ac这个命题成立，如果固定a，b，只对c进行归纳并且过程无误，这只能说明c取任意的自然数都能使上述命题成立。没有说明a取任意自然数时也能使上述命题成立。

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好之者不如乐之者
10楼2015-08-05 16:03:12
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