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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[求助] 最小公倍数的一个性质已有1人参与

试证：无穷级数 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{[1,2,\cdots,n]}$ 收敛。
据说有人猜测这个级数的和是一个无理数，不知这一点如何证明？请教各位大神。
对于这个猜测，不知有多少人相信为真？

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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去网上放狗, 搜罗了一些事实.

令a(n)=LCM(1,2,3,...,n), 可以证明 $a(n)\leq 3^n$ (简单),

$a(n)\geq 2^{n-1}$ (不简单),

或者更准确的渐近公式,
$a(n)=e^{n+o(n)}$ (非常不简单, 利用Gauss的素数定理),

或者再精确点, $|\ln(a(n))-n|< \sqrt{n}\ln^2{n}$ (这是Riemann假设的众多等价命题中的一个, 世纪难题!!!)

因此, 级数收敛是个推论. 但可以看出, 用证明e是无理数的方法来试图证明该级数和也是无理数, 此路不通. 几何级数e^n发散远远不如阶乘n!~(n/e)^n快(Stirling公式) 是主要原因.