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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 最小公倍数的一个性质
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投票标题: 最小公倍数的一个性质 (单选)

  • （1）和是无理数
    4 (36.4%)
  • （2）和是有理数
    7 (63.6%)
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[求助] 最小公倍数的一个性质 已有1人参与

试证：无穷级数收敛。
据说有人猜测这个级数的和是一个无理数，不知这一点如何证明？请教各位大神。
对于这个猜测，不知有多少人相信为真？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2015-07-05 00:55:23
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+5, ★有帮助 2015-07-06 03:18:32
由[1,2,...,n]≥(n-1)*n可知该无穷级数收敛
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2楼2015-07-05 10:25:37
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by liuqh at 2015-07-05 10:25:37
由≥(n-1)*n可知该无穷级数收敛

该级数和为无理数应该可以仿照e是无理数的证明
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3楼2015-07-06 08:19:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2015-07-06 08:19:08
该级数和为无理数应该可以仿照e是无理数的证明...

可以展开说说么？

我想了很久都无法知道是否是无理数
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We_must_know. We_will_know.
4楼2015-07-06 09:20:37
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2015-07-06 08:19:08
该级数和为无理数应该可以仿照e是无理数的证明...

级数收敛没问题，级数的和是一个确定的实数，且在5/3到2之间，至于是无理数还是有理数是一个还没有解决的公开问题。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2015-07-06 15:30:53
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
去网上放狗, 搜罗了一些事实.

令a(n)=LCM(1,2,3,...,n), 可以证明 (简单),

(不简单),

或者更准确的渐近公式,
(非常不简单, 利用Gauss的素数定理),

或者再精确点, (这是Riemann假设的众多等价命题中的一个, 世纪难题!!!)

因此, 级数收敛是个推论. 但可以看出, 用证明e是无理数的方法来试图证明该级数和也是无理数, 此路不通. 几何级数e^n发散远远不如阶乘n!~(n/e)^n快(Stirling公式) 是主要原因.
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We_must_know. We_will_know.
6楼2015-07-08 07:57:42
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