微分方程的数值计算 - 数学 - 计算数学 - 第2页小木虫论坛-学术科研互动平台

11楼2015-04-08 11:45:43

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pippi6

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10楼: Originally posted by Anthea14 at 2015-04-08 09:01:38
不过貌似要有初值才能算，这里条件没有给初值，需要自己设定吗?...

这是应2楼的要求回复的。

这是个边值问题，不需要初值。另外，虽然有非线性项，但是方程的定解和非线性项无关。所以，你的边界条件应该是足够的。至于如何求解，像2楼所说，使用Newton法即可。但问题是，没有这么直接。你需要首先做线性化（等同于Newton法），求解增量。每次迭代重新计算线性方程的系数。其他和线性方程一样。

12楼2015-04-08 20:37:46

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onesupeng

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你这个首先怎么排除0解？

长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com

13楼2015-04-10 15:23:56

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Anthea14

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12楼: Originally posted by pippi6 at 2015-04-08 20:37:46
这是应2楼的要求回复的。

这是个边值问题，不需要初值。另外，虽然有非线性项，但是方程的定解和非线性项无关。所以，你的边界条件应该是足够的。至于如何求解，像2楼所说，使用Newton法即可。但问题是，没有这 ...

很抱歉，上一周比较忙，没看到你的回复，非常感谢你的详细指导！
我不是很理解你的【你需要首先做线性化（等同于Newton法），求解增量。每次迭代重新计算线性方程的系数。其他和线性方程一样。】这一过程? 之前学习的是用有限差分解偏微分方程，所以突然遇到一维的情况就感觉不同。
还有如果初值知道了，即目前已有 ${u(0)=constant}$ 的条件，又可以用什么方法来解决呢? 非常感谢呀~

14楼2015-04-14 11:03:17

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pippi6

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14楼: Originally posted by Anthea14 at 2015-04-14 11:03:17
很抱歉，上一周比较忙，没看到你的回复，非常感谢你的详细指导！
我不是很理解你的【你需要首先做线性化（等同于Newton法），求解增量。每次迭代重新计算线性方程的系数。其他和线性方程一样。】这一过程? 之前学 ...

首先，所谓线性化就是推导出线性化方程，变量是 $\delta u$ . 比如在你的情形有 $\frac{d^2 \delta u}{dx^2}+\frac{d \delta u}{dx}+A \delta u+3Bu^2\delta u+5Cu^4\delta u=R$ , $R=-\frac{d^2 u}{dx^2}-\frac{d u}{dx}-A u-Bu^3-Cu^5$ . 然后解 $\delta u$ 。修正是 $u=u+\delta u$ .

另外，13 楼说的有道理。我当时没仔细看，你这方程有平凡解，即u=0的解。没有非线性项的话，那么是一个eigenvalue问题，这样A就是本征值，不能给定。如果是这样，就可以把非线性看成是对线性本征问题的修正。

15楼2015-04-14 12:56:37

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Anthea14

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15楼: Originally posted by pippi6 at 2015-04-14 12:56:37
首先，所谓线性化就是推导出线性化方程，变量是 \delta u . 比如在你的情形有\frac{d^2 \delta u}{dx^2}+\frac{d \delta u}{dx}+A \delta u+3Bu^2\delta u+5Cu^4\delta u=R, R=-\frac{d^2 u}{dx^2}-\frac{ ...

谢谢你的详细讲解！
那么想问下用什么算法实现这一个运算比较好呢?

16楼2015-04-15 08:35:06

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Anthea14

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13楼: Originally posted by onesupeng at 2015-04-10 15:23:56
你这个首先怎么排除0解？

谢谢提醒！

不过还没确定怎么去算……目前已经有了初值，就是有限差分法第一点的值已经是确定了的。不过不清楚有限差分离散后怎么接着算下去。

17楼2015-04-15 08:37:57

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Anthea14

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不好意思再补充一个问题，如果目前已有了初值，即有限差分离散后的第一点u(0)的值已经确定了，那么这种方程可以用什么算法来求呢?
麻烦你解答了，谢谢！

18楼2015-04-15 10:50:00

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希尔伯特

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2楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-06 19:10:29
差分离散后，得到关于节点的非线性矩阵方程组；
使用Newton迭代法求解。

有个疑问是Newton法如何将非线性方程组的线性化啊

19楼2015-06-22 12:22:48

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终之太刀—晓

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19楼: Originally posted by 希尔伯特 at 2015-06-22 12:22:48
有个疑问是Newton法如何将非线性方程组的线性化啊...

可以用“Broyden秩一法”试试。