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lyxcumt1990

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20楼: Originally posted by pippi6 at 2015-01-14 20:38:20
2个问题：（1）是否是n种不同颜色的球？还是n个颜色不同的球？
（2）放回准则：颜色相同，就放回？

n个颜色各不相同的球，不管取到什么球都放回。

[ 发自小木虫客户端 ]

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21楼2015-01-14 22:52:42

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Ogilvie

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【答案】应助回帖

引用回帖:

19楼: Originally posted by lyxcumt1990 at 2015-01-14 19:16:32
这不能保证前n-1个球中恰好包括了i-1种颜色的球吧？...

不一定要包括所有 n-1 种，是从 n 种中的 n-1 种中选择。

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=_=

22楼2015-01-15 01:00:20

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hank612

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假设有一个无穷长的整数序列(a1,a2,a3...), $1\leq a_i \leq n$ .

如果让随机变量Xk=第k种颜色第一次出现的位置, 那么明显 X1=1, 且Xn就是楼主关心的变量.

可以看出, 如果Xk=k+t出现, 那么根据X_{k-1}出现的位置及第(k+t)位置有(n-k+1)种颜色选择,所以
$Pr(X_k=k+t)=\frac{n-k+1}{n}\sum_{r=0}^{t}Pr(X_{k-1}=k-1+r)(\frac{k-1}{n})^{t-r}$

于是(让k=n)
$Exp(X_n)=\sum_{t=0}^{\infty}(n+t)Pr(X_n=n+t)=\frac{1}{n}\sum_{t=0}^{\infty}\sum_{r=0}^{t}(n+t)Pr(X_{n-1}=n-1+r)(\frac{n-1}{n})^{t-r}$ .

后者交换求和次序,并让s=t-r, 得到
$\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\sum_{s=0}^{\infty}(n+r+s)(\frac{n-1}{n})^s=\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)((n+r)n+(n-1)n)$

这个等于 $\sum_{r=0}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\cdot (n-1+r)+n\sum_{r=0}^{\infty} Pr(X_{n-1}=n-1+r)=Exp(X_{n-1})+n$

递推公式 $Exp(X_n)=Exp(X_{n-1})+n$ 直接推出

最终答案: $Exp(X_n)=\frac{n(n+1)}{2}$ . (别忘了 X1=1).

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23楼2015-01-15 09:20:19

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hank612

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feixiaolin: 金币+12 2015-01-17 12:10:27

引用回帖:

23楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-15 09:20:19
假设有一个无穷长的整数序列(a1,a2,a3...), 1\leq a_i \leq n.

如果让随机变量Xk=第k种颜色第一次出现的位置, 那么明显 X1=1, 且Xn就是楼主关心的变量.

可以看出, 如果Xk=k+t出现, 那么根据X_{k-1}出现的位置 ...

上面答案错的非常离谱，因为真正的递推公式是
$E(X_k)=E(X_{k-1})+\frac{n}{n-k+1},\forall 2\leq k \leq n$ ,

所以最终答案： $E(X_n)=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})$ .

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24楼2015-01-15 10:13:36

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hank612

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引用回帖:

24楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-15 10:13:36
上面答案错的非常离谱，因为真正的递推公式是
E(X_k)=E(X_{k-1})+\frac{n}{n-k+1},\forall 2\leq k \leq n,

所以最终答案： E(X_n)=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})....

http://www.dartmouth.edu/~chance ... y_book/Chapter6.pdf

Example 6.11， Page234：非常简单的答案和我的答案有天壤之别

http://www.quora.com/What-are-th ... rity-of-expectation

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25楼2015-01-15 10:52:28

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