版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

lyxcumt1990

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5.1
帖子: 22
在线: 5.1小时
虫号: 3558296
注册: 2014-11-25

[求助] 又放回取球问题求助已有2人参与

袋子中有n个颜色不同的球，有放回取球，直到取出所有颜色的球停止，求取球次数的数学期望是多少？

回复此楼

» 猜你喜欢

1楼 2015-01-14 11:57:12

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

假设有一个无穷长的整数序列(a1,a2,a3...), $1\leq a_i \leq n$ .

如果让随机变量Xk=第k种颜色第一次出现的位置, 那么明显 X1=1, 且Xn就是楼主关心的变量.

可以看出, 如果Xk=k+t出现, 那么根据X_{k-1}出现的位置及第(k+t)位置有(n-k+1)种颜色选择,所以
$Pr(X_k=k+t)=\frac{n-k+1}{n}\sum_{r=0}^{t}Pr(X_{k-1}=k-1+r)(\frac{k-1}{n})^{t-r}$

于是(让k=n)
$Exp(X_n)=\sum_{t=0}^{\infty}(n+t)Pr(X_n=n+t)=\frac{1}{n}\sum_{t=0}^{\infty}\sum_{r=0}^{t}(n+t)Pr(X_{n-1}=n-1+r)(\frac{n-1}{n})^{t-r}$ .

后者交换求和次序,并让s=t-r, 得到
$\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\sum_{s=0}^{\infty}(n+r+s)(\frac{n-1}{n})^s=\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)((n+r)n+(n-1)n)$

这个等于 $\sum_{r=0}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\cdot (n-1+r)+n\sum_{r=0}^{\infty} Pr(X_{n-1}=n-1+r)=Exp(X_{n-1})+n$

递推公式 $Exp(X_n)=Exp(X_{n-1})+n$ 直接推出

最终答案: $Exp(X_n)=\frac{n(n+1)}{2}$ . (别忘了 X1=1).

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

23楼2015-01-15 09:20:19

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

查看全部 42 个回答

匿名

用户注销 (职业作家)

Matlab专家

应助: 223 (大学生)
金币: 2891.3
散金: 5302
红花: 59
沙发: 10
帖子: 3308
在线: 945小时
虫号: 0
注册: 2012-05-01
性别: GG
专业: 力学

感谢参与，应助指数 +1

本帖仅楼主可见

赞一下

2楼2015-01-14 12:20:23

已阅申请数学EPI 回复此楼编辑查看我的主页

lyxcumt1990

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5.1
帖子: 22
在线: 5.1小时
虫号: 3558296
注册: 2014-11-25

引用回帖:

2楼: Originally posted by yanze at 2015-01-14 12:20:23
是n，相当于一次把所有球取出来

是有放回的

回复此楼

3楼2015-01-14 12:22:30

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

匿名

用户注销 (职业作家)

Matlab专家

应助: 223 (大学生)
金币: 2891.3
散金: 5302
红花: 59
沙发: 10
帖子: 3308
在线: 945小时
虫号: 0
注册: 2012-05-01
性别: GG
专业: 力学

本帖仅楼主可见

4楼2015-01-14 12:24:00

已阅申请数学EPI 回复此楼编辑查看我的主页

查看全部 42 个回答

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[基金申请] 投票: 有多少人是今天查系统知道结果的？ +17	爱看书的可乐 2026-08-26	19/950	2026-09-02 00:19 by xiangy672
[基金申请] 为什么国自然不能直接公布 +5	bjdxyxy 2026-08-26	5/250	2026-09-01 17:54 by 小伟大博士
[基金申请] 学科评审组评审是指会评吗？ +4	瞬息宇宙 2026-08-31	4/200	2026-09-01 14:58 by jiaoxg
[论文投稿] 小白求助投论文要求的highlights应该如何写 5+3	l1963982152 2026-08-29	4/200	2026-09-01 09:04 by 北京莱茵编辑
[基金申请] 麻烦专家们看看评委们的意见（F口面上） +7	gdd2018 2026-08-28	12/600	2026-09-01 08:32 by 尼古拉斯小虫
[基金申请] 国社科又开始会评了，不知道这次命运如何 +7	雨打竹帘 2026-08-30	11/550	2026-08-31 23:16 by hittle2008
[基金申请] 哪位高人中了，把查询到的截图贴出来让我看看，让我长长见识 +6	yuleib84 2026-08-26	7/350	2026-08-31 19:46 by 鱼翔浅底1
[基金申请] 面上意见出来了 +12	黄鸟于飞Chao 2026-08-29	23/1150	2026-08-31 18:57 by 黄鸟于飞Chao
[基金申请] 中青基了要发朋友圈吗？ +7	349506619 2026-08-28	7/350	2026-08-31 13:39 by 冼亮淀粉酶
[基金申请] 29号明天会评吗 +4	笨笨唐 2026-08-28	4/200	2026-08-31 09:30 by huixian257
[基金申请] 为什么到现在没收到通知？ +5	tannykie 2026-08-29	5/250	2026-08-30 21:05 by purplejack
[考博] 找导师 +6	yuanjiabao 2026-08-29	7/350	2026-08-30 14:40 by 生科新手
[基金申请] 国自然面上复盘~欢迎讨论 (金币+15) +15	晴天加油 2026-08-26	16/800	2026-08-29 18:28 by symmetry
[基金申请] 2026年叶企孙基金 +4	bud_bud 2026-08-27	7/350	2026-08-29 07:23 by foolishmani
[基金申请] 基金系统什么内容也没有 30+4	winsaint 2026-08-27	9/450	2026-08-28 11:06 by maolC
[基金申请] 怎么查啊 +6	huang1991js 2026-08-26	6/300	2026-08-28 08:42 by winsaint
[基金申请] 我不理解！ +15	Edward_pc 2026-08-26	23/1150	2026-08-26 20:34 by zzuzxg
[基金申请] 出来了 +9	trojank 2026-08-26	9/450	2026-08-26 14:25 by 宝贝虫子
[基金申请] 国合里面能看到了 +7	一怀馨秋 2026-08-26	7/350	2026-08-26 11:23 by zhaosm1982
[基金申请] 国际合作可查了，中了面上 (EPI+1)(金币+50) +18	Ldrop2023 2026-08-26	18/900	2026-08-26 11:15 by cmrandy

24小时热门版块排行榜

lyxcumt1990

[求助] 又放回取球问题求助 已有2人参与

» 猜你喜欢

hank612

匿名

lyxcumt1990

匿名

[求助] 又放回取球问题求助已有2人参与