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lyxcumt1990

新虫 (初入文坛)

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[求助] 又放回取球问题求助已有2人参与

袋子中有n个颜色不同的球，有放回取球，直到取出所有颜色的球停止，求取球次数的数学期望是多少？

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1楼 2015-01-14 11:57:12

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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性别: GG
专业: 理论和计算化学

假设有一个无穷长的整数序列(a1,a2,a3...), $1\leq a_i \leq n$ .

如果让随机变量Xk=第k种颜色第一次出现的位置, 那么明显 X1=1, 且Xn就是楼主关心的变量.

可以看出, 如果Xk=k+t出现, 那么根据X_{k-1}出现的位置及第(k+t)位置有(n-k+1)种颜色选择,所以
$Pr(X_k=k+t)=\frac{n-k+1}{n}\sum_{r=0}^{t}Pr(X_{k-1}=k-1+r)(\frac{k-1}{n})^{t-r}$

于是(让k=n)
$Exp(X_n)=\sum_{t=0}^{\infty}(n+t)Pr(X_n=n+t)=\frac{1}{n}\sum_{t=0}^{\infty}\sum_{r=0}^{t}(n+t)Pr(X_{n-1}=n-1+r)(\frac{n-1}{n})^{t-r}$ .

后者交换求和次序,并让s=t-r, 得到
$\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\sum_{s=0}^{\infty}(n+r+s)(\frac{n-1}{n})^s=\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{\infty}Pr(X_{n-1}=n-1+r)((n+r)n+(n-1)n)$

这个等于 $\sum_{r=0}Pr(X_{n-1}=n-1+r)\cdot (n-1+r)+n\sum_{r=0}^{\infty} Pr(X_{n-1}=n-1+r)=Exp(X_{n-1})+n$

递推公式 $Exp(X_n)=Exp(X_{n-1})+n$ 直接推出

最终答案: $Exp(X_n)=\frac{n(n+1)}{2}$ . (别忘了 X1=1).