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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)

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8楼: Originally posted by A_Young1994 at 2014-12-24 16:20:41
关于“证明截面是椭圆”，其实这就是椭圆的一种几何定义，无需证明。同样地，用与对称轴平行的平面截出来的是抛物线，用与母线平行的平面截出来的是双曲线。

已证明非椭圆,斜平面交圆柱才是椭圆,抱歉啦

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11楼2014-12-27 23:30:44

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9楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-25 03:44:47
由于圆锥面方程为: x^2+y^2=(R-z\tan{\alpha})^2, 平面截面(假设平行于X轴)方程为:z=y\tan{\beta}+h, 所以三维曲线(以y为参数)为(\sqrt{(R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta})-y^2},y,y\tan{\beta}+h), 其中 ...

话说为啥给不了你金币....

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12楼2014-12-27 23:32:16

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pippi6

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【答案】应助回帖

lz 说得对，这个截面不是椭圆。只有圆柱的斜切截面才是椭圆。

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13楼2014-12-28 09:49:17

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hank612

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feixiaolin: 金币+10 2014-12-29 14:51:50

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2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-23 21:53:07
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!

关于截面的形状，圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，@pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换到2维平面中，大家就熟悉了

我刚注意到楼主的 $\alpha$ 角是从左母线到右母线的，比我公式中的角度大了一倍。为符号保持一致，让 $\theta=\frac{\alpha}{2}$ . 于是空间曲线在圆锥面 $x^2+y^2=(R-z\tan{\theta})^2$ 交平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 上，其中XOY平面在圆锥底面上，即O点坐标(0,0,h).

如果要把平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 通过刚体运动（正交变换加平移）变到XOY平面，可以考虑 $\Phi: (x,y,z)\rightarrow (x,\cos{\beta}y+\sin{\beta}(z-h),-\sin{\beta}y+\cos{\beta}(z-h))$ . 它是先将平面下降h,再绕X轴旋转 $-\beta$ 角度得到。如果点(x,y,z)在平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 上，那么 $\Phi(x,y,z)=(x,y\sec{\beta},0)$ .

如果我们想看看曲线在XOY上的新方程是什么，就要考虑 $\Phi^{-1}(x,y,z)=(x,\cos{\beta}y-\sin{\beta}z,\sin{\beta}y+\cos{\beta}z+h)$ , 也就是先绕X轴旋转 $\beta$ 角度再将z平面上升h。

圆锥面新方程: $x^2+(\cos{\beta}y-\sin{\beta}z)^2=(R-(\sin{\beta}y+\cos{\beta}z+h)\tan{\theta})^2$ . 限制在z=0 (XOY平面）上，为
$x^2+(1-\frac{\sin^2{\beta}}{\cos^2{\theta}})y^2=(R-h\tan{\theta})^2-2(R-h\tan{\theta})\sin{\beta}\tan{\theta}y$

于是大伙看清楚了：当 $\beta+\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是椭圆；当 $\beta+\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是抛物线；
当 $\beta+\theta>\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是双曲线（的一半）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse 告诉我们椭圆周长要用到椭圆积分（不是初等函数），还是满足于数值解吧。

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We_must_know. We_will_know.

14楼2014-12-29 13:26:11

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pippi6

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14楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-29 13:26:11
关于截面的形状，圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换 ...

谢谢 hank612 的更正，截面确实为椭圆。

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15楼2014-12-29 14:48:27

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engp8908

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【答案】应助回帖

这个不是高中立体几何里的内容吗？应该是椭圆，而且是可以证明的吧。只是时间太久了，忘记怎么证明了！

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16楼2014-12-29 15:12:01

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