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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道关于多重积分的应用题
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by A_Young1994 at 2014-12-24 16:20:41
关于“证明截面是椭圆”，其实这就是椭圆的一种几何定义，无需证明。同样地，用与对称轴平行的平面截出来的是抛物线，用与母线平行的平面截出来的是双曲线。

已证明非椭圆,斜平面交圆柱才是椭圆,抱歉啦
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11楼2014-12-27 23:30:44
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-25 03:44:47
由于圆锥面方程为: x^2+y^2=(R-z\tan{\alpha})^2, 平面截面(假设平行于X轴)方程为:z=y\tan{\beta}+h, 所以三维曲线(以y为参数)为(\sqrt{(R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta})-y^2},y,y\tan{\beta}+h), 其中 ...

话说为啥给不了你金币....
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12楼2014-12-27 23:32:16
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

lz 说得对，这个截面不是椭圆。只有圆柱的斜切截面才是椭圆。
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13楼2014-12-28 09:49:17
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+10 2014-12-29 14:51:50
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-23 21:53:07
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!

关于截面的形状， 圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此 我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，@pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换到2维平面中，大家就熟悉了

我刚注意到楼主的角是从左母线到右母线的，比我公式中的角度大了一倍。为符号保持一致，让. 于是空间曲线在圆锥面交平面上， 其中XOY平面在圆锥底面上，即O点坐标(0,0,h).

如果要把平面通过刚体运动（正交变换加平移）变到XOY平面，可以考虑. 它是先将平面下降h,再绕X轴旋转角度得到。如果点(x,y,z)在平面上，那么.

如果我们想看看曲线在XOY上的新方程是什么， 就要考虑, 也就是先绕X轴旋转角度再将z平面上升h。

圆锥面新方程: . 限制在z=0 (XOY平面）上，为


于是大伙看清楚了：当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是抛物线；
当时，曲线是双曲线（的一半）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse 告诉我们椭圆周长要用到椭圆积分（不是初等函数）， 还是满足于数值解吧。
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We_must_know. We_will_know.
14楼2014-12-29 13:26:11
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
14楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-29 13:26:11
关于截面的形状， 圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此 我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换 ...

谢谢 hank612 的更正， 截面确实为椭圆。
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15楼2014-12-29 14:48:27
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engp8908

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

这个不是高中立体几何里的内容吗？ 应该是椭圆，而且是可以证明的吧。只是时间太久了，忘记怎么证明了！
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16楼2014-12-29 15:12:01
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