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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 一道关于多重积分的应用题已有6人参与

如图，一个底面半径为R，母线与对称轴夹角为阿尔法的圆锥被一个与水平面夹角为贝塔的平面截取，交对称轴于O，求所截面的周长

虽说想到了解析法。。。不过积分上遇到了困难，万望各位前辈不吝赐教。
PS，千万别用椭圆周长公式，光是证明截面是椭圆，想想就好麻烦2333

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1楼 2014-12-23 20:30:37

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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feixiaolin: 金币+10 2014-12-29 14:51:50

引用回帖:

2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-23 21:53:07
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!

关于截面的形状，圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，@pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换到2维平面中，大家就熟悉了

我刚注意到楼主的 $\alpha$ 角是从左母线到右母线的，比我公式中的角度大了一倍。为符号保持一致，让 $\theta=\frac{\alpha}{2}$ . 于是空间曲线在圆锥面 $x^2+y^2=(R-z\tan{\theta})^2$ 交平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 上，其中XOY平面在圆锥底面上，即O点坐标(0,0,h).

如果要把平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 通过刚体运动（正交变换加平移）变到XOY平面，可以考虑 $\Phi: (x,y,z)\rightarrow (x,\cos{\beta}y+\sin{\beta}(z-h),-\sin{\beta}y+\cos{\beta}(z-h))$ . 它是先将平面下降h,再绕X轴旋转 $-\beta$ 角度得到。如果点(x,y,z)在平面 $z=y\tan{\beta}+h$ 上，那么 $\Phi(x,y,z)=(x,y\sec{\beta},0)$ .

如果我们想看看曲线在XOY上的新方程是什么，就要考虑 $\Phi^{-1}(x,y,z)=(x,\cos{\beta}y-\sin{\beta}z,\sin{\beta}y+\cos{\beta}z+h)$ , 也就是先绕X轴旋转 $\beta$ 角度再将z平面上升h。

圆锥面新方程: $x^2+(\cos{\beta}y-\sin{\beta}z)^2=(R-(\sin{\beta}y+\cos{\beta}z+h)\tan{\theta})^2$ . 限制在z=0 (XOY平面）上，为
$x^2+(1-\frac{\sin^2{\beta}}{\cos^2{\theta}})y^2=(R-h\tan{\theta})^2-2(R-h\tan{\theta})\sin{\beta}\tan{\theta}y$

于是大伙看清楚了：当 $\beta+\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是椭圆；当 $\beta+\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是抛物线；
当 $\beta+\theta>\frac{\pi}{2}$ 时，曲线是双曲线（的一半）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse 告诉我们椭圆周长要用到椭圆积分（不是初等函数），还是满足于数值解吧。